Lineare Fehlerfortpflanzung für V(r,h) = pi r^2 h und Integrale von zB. 4x^2 - 5 sinx

Question

Aufgabe 1:

Für das Volumen \( V(r, h) \) eines Zylinders mit Radius \( r \) und Höhe \( h \) gilt:
$$ V(r, h) = \pi r^2h $$

Für einen Zylinder wurden der Radius \( r=(11 \pm 0,03) c m \) und die Höhe \( h=(9 \pm 0,04) c m \) gemessen. Bestimmen Sie das Volumen des Zylinders und berechnen Sie mit Hilfe der linearen Fehlerfortpflanzung den resultierenden Absolutfehler und den resultierenden maximalen Relativfehler des Volumens. Runden Sie auf 4 Nachkommastellen.

Aufgabe 2:

Lösen Sie die folgenden Integrale.

$$ \begin{array}{l} {\text { a) } \int 4 x^{2}-5 \sin x d x} \\ {\text { b) } \int \limits_{1}^{2} \sqrt[3]{x^{5}}+\frac{4}{x}-\frac{1}{3 x^{2}} d x} \\ {\text { c) } \int x e^{x^{2}-4} d x} \\ {\text { d) } \int \limits_{0}^{2} \frac{6 x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} d x} \end{array} $$

Answer 1

Aufgabe 1

Maximaler resultierender Absolutfehler:

\( \Delta V=\left|\frac{\partial V}{\partial r}\right| \Delta r+\left|\frac{\partial V}{\partial h}\right| \Delta h= \)
\( =|2 \pi r h| \cdot \Delta r+\left|\pi r^{2}\right| \cdot \Delta h= \)
\( =33,87 \mathrm{cm}^{3} \)

Maximaler resultierender Relativfehler:
\( \frac{\Delta V}{V} \approx 0,1 \% \)

Aufgabe 2

a) 4∫x^2dx - 5∫sin(x)dx = 4/3 * x^3 + 5 * cos(x) + c

b) ∫_{1 bis 2} x^{5/3} dx + 4∫_{1 bis 2}1/x dx - 1/3 ∫_{1 bis 2} x^{-2} dx =
= [3/8 * x^{8/3}]_{1 bis 2} + 4 * [ ln(x) ]_{1 bis 2} + 1/3 * [1/x]_{1 bis 2} ≈ 4,61

c) ∫x*exp{x^2-4}dx; Subst: t= x^2-4, dx = 1/(2x) dt
1/2 * ∫ exp{t}dt = 1/2*exp{t} +c = 1/2 * exp{x^2-4} + c

d) Subst. x^3+1 = t, dx = 1/(3x^2) * dt
    2*∫_{0 bis 2} t^{-1/2} dt = 4 * [ sqrt(x^3+1) ]_{0 bis 2} = 8