Berechnen Sie die folgenden Integrale mit Zwischenschritten

Question

Text erkannt:

Aufgabe 3 (Integration)
Berechnen Sie die folgenden Integrale und geben Sie Ihre Zwischenschritte an.
(i) \( \int \limits_{1}^{4} e^{\sqrt{x}} d x \),
(ii) \( \int \limits_{-1}^{1}(1+x)^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x, \quad n, m \in \mathbb{N} \),
(iii) \( \int \limits_{-1}^{1} \frac{1}{(a-x) \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x, \quad a>1 \).

Hallo,

ich habe die erste Aufgabe durch substituieren und partielle Integration gelöst bekommen und den Wert 2e^2 bekommen. Stimmt es ?

Bei der zweiten und dritten Aufgabe weiß ich leider nicht wie ich die gelöst bekomme oder wie man am besten anfangen kann.

Lg

Answer 1

Text erkannt:

\( A=\int \limits_{1}^{4} e^{\sqrt{x}} \cdot d x \)
Substitution:
\( \sqrt{x}=u \rightarrow \rightarrow x=u^{2} \rightarrow \rightarrow d x=2 \cdot u \cdot d u \)
\( \int e^{\sqrt{x}} \cdot d x=\int e^{u} \cdot 2 \cdot u \cdot d u=2 \cdot \int e^{u} \cdot u \cdot d u \)
partielle Integration:
\( \mathrm{a}^{\cdot}=e^{u} \rightarrow \rightarrow a=e^{u} \)
\( b=u \rightarrow \rightarrow b^{\prime}=1 \)
\( \int e^{u} \cdot u \cdot d u=e^{u} \cdot u-\int e^{u} \cdot 1 \cdot d u=e^{u} \cdot u-e^{u} \)
\( 2 \cdot \int e^{u} \cdot u \cdot d u=2 \cdot\left(e^{u} \cdot u-e^{u}\right) \)
Resubstitution:
\( \int e^{\sqrt{x}} \cdot d x=\left(2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}-2 \cdot e^{\sqrt{x}}\right) \)
\( A=\int \limits_{1}^{4} e^{\sqrt{x}} \cdot d x=\left[2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}-2 \cdot e^{\sqrt{x}}\right]_{1}^{4}=\left[2 \cdot e^{\sqrt{4}} \cdot \sqrt{4}-2 \cdot e^{\sqrt{4}}\right]-\left[2 \cdot e^{\sqrt{1}} \cdot \sqrt{1}-2 \cdot e^{\sqrt{1}}\right]= \)
\( =\left[2 \cdot e^{2} \cdot 2-2 \cdot e^{2}\right]-\left[2 \cdot e^{1} \cdot 1-2 \cdot e^{1}\right]=2 e^{2}-0=2 e^{2} \)

Answer 2

Mit Substitution ergibt sich
\(\begin{aligned} \int \limits_{1}^{4} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=\int \limits_{1}^{4} \frac{2 \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=2 \int \limits_{1}^{2} u e^{u} \mathrm{~d} u .\end{aligned} \)
Nun kannst du mit partieller Integration fortfahren.
Für das zweite kannst du ebenfall per partieller Integration verfahren. Definiere
\(\begin{aligned} \varphi(n, m):=\int \limits_{-1}^{1}(1+x)^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x\end{aligned} \)
womit sich
\( \begin{aligned} \varphi(n, m) &=\int \limits_{-1}^{1}(1+x)^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x \\ &=\underbrace{\left[\frac{1}{n+1}(1+x)^{n+1}(1-x)^{m}\right]}_{=0, m \neq 0} \\ &=\frac{m}{n+1} \cdot \varphi(n+1, m-1) . \end{aligned} \)

ergibt. Diese Rekurrenz kannst du nun einfach lösen, der Basisfall ist
\(\begin{aligned} \varphi(N, 0)=\int \limits_{-1}^{1}(1+x)^{N} \mathrm{~d} x=\left[\frac{1}{N+1}(1+x)^{N+1}\right]_{-1}^{1}=\frac{1}{N+1} 2^{N+1}\end{aligned} \)
und es ergibt sich
\( \begin{aligned} \varphi(n, m) &=\frac{m}{n+1} \cdot \varphi(n+1, m-1) \\ &=\frac{m(m-1)}{(n+1)(n+2)} \cdot \varphi(n+2, m-2) \\ &=\cdots \\ &=\left(\prod \limits_{k=1}^{m} \frac{m-k+1}{n+k}\right) \cdot \varphi(n+m, 0) \\ &=\left(\prod \limits_{k=1}^{m} \frac{m-k+1}{n+k}\right) \cdot \frac{1}{(n+m+1)} 2^{n+m+1} \end{aligned} \)