Wie kann ich diese Bruchgleichung lösen? (x-3)/(x-4) + (x-4)/(x-3) = (x-5)²/( (x-3)(x-4) )

Question

Aufgabe:

$$ \frac { x - 3 } { x - 4 } + \frac { x - 4 } { x - 3 } = \frac { ( x - 5 ) ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ( x - 4 ) } $$

Kann mir jemand helfen und die Berechnung genau erklären?

Answer 1

Zum Lösen der Gleichung multiplizierst du zuerst die ganze Gleichung mit (x-3)*(x-4). Auf der rechten Seite verschwindet der Nenner dann ganz. Übrig bleibt:

$$ \left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { x - 4 } + \frac { x - 4 } { x - 3 } = \frac { ( x - 5 ) ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ( x - 4 ) } } & { | · ( x - 3 ) ( x - 4 ) } \\ { ( x - 3 ) ( x - 4 ) \left( \frac { x - 3 } { x - 4 } + \frac { x - 4 } { x - 3 } \right) = ( x - 5 ) ^ { 2 } } & | { \text { Distributivgesetz } } \end{array} \right. \\ ( x - 3 ) ( x - 4 ) \frac { x - 3 } { x - 4 } + ( x - 3 ) ( x - 4 ) \frac { x - 4 } { x - 3 } = ( x - 5 ) ^ { 2 } \quad | \text { jeweils eine Klammer kürzen } \\ \left. \begin{array} { l } { ( x - 3 ) ( x - 3 ) + ( x - 4 ) ( x - 4 ) = ( x - 5 ) ( x - 5 ) } \\ { x ^ { 2 } - 6 x + 9 + x ^ { 2 } - 8 x + 16 = x ^ { 2 } - 10 x + 25 } \\ { x ^ { 2 } - 4 x = 0 } \end{array} \right. $$

In der letzten Zeile habe ich einfach alle Terme auf eine Seite sortiert, damit man die Gleichung einfach lösen kann.

Die Lösung x=0 kann man nun direkt ablesen, die zweite Lösung erhält man, wenn man die Gleichung durch x teilt:

$$ x^2 - 4x = 0  \quad | :x \\ x-4 = 0 \\ x = 4 $$

Die Lösungen sind also x₁=4 und x₂=0.

Vor allem bei Bruchgleichungen ist es möglich, dass man während des Löseverfahrens zusätzliche Gleichungen erhält, für die die Ausgangsgleichung gar nicht definiert ist: 4 ist nicht Lösung der Gleichung, da die Teilung durch 0 keine wohldefinierte Operation ist.

Answer 2

Du kannst hier zuerst links gleichnamig machen, dann ausmultiplizieren (binomische Formeln) und die Brüchen addieren. Dann die Nenner wegbringen indem du mit dem Hauptnenner multiplizierst. Danach entsteht eine einfache quadratische Gleichung, die du mit Faktorisieren lösen kannst. Zum Schluss musst du die bei Bruchgleichungen noch um mögliche Scheinlösungen kümmern.

$$ \frac { x - 3 } { x - 4 } + \frac { x - 4 } { x - 3 } = \frac { ( x - 5 ) ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ( x - 4 ) } \\ \frac { ( x - 3 ) ( x - 3 ) } { ( x - 4 ) ( x - 3 ) } + \frac { ( x - 4 ) ( x - 4 ) } { ( x - 3 ) ( x - 4 ) } = \frac { ( x - 5 ) ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ( x - 4 ) } \\ \frac { ( x - 3 ) ( x - 3 ) + ( x - 4 ) ( x - 4 ) } { ( x - 4 ) ( x - 3 ) } = \frac { ( x - 5 ) ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ( x - 4 ) } \\ \left. \begin{array} { l } { ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x - 4 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 } } \\ { x ^ { 2 } - 6 x + 9 + x ^ { 2 } - 8 x + 16 = x ^ { 2 } - 10 x + 25 } \\ { x ^ { 2 } + ( 10 - 6 - 8 ) x + 9 + 16 - 25 = 0 } \\ { x ^ { 2 } - 4 x = 0 } \\ { ( x - 4 ) · x = 0 } \end{array} \right. \\ x_1 = 4 \\ x_2 = 0 $$

Erste Probe in ursprünglicher Gelichung zeigt, dass x₁=4 keine Lösung ist. Es ist eine Scheinlösung, die bei der Nichtäquivalenzumformung 'Multiplikation mit dem Hauptnenner (x-3)(x-4)' reingerutscht ist.

Zweite Probe mit x=0

$$ \left. \begin{array} { l } { \frac { 0 - 3 } { 0 - 4 } + \frac { 0 - 4 } { 0 - 3 } = ? \frac { ( 0 - 5 ) ^ { 2 } } { ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) } } \\ { \frac { 3 } { 4 } + \frac { 4 } { 3 } = ? \frac { 25 } { 12 } } \\ { \frac { 9 + 16 } { 12 } = \frac { 25 } { 12 } } \end{array} \right. $$

Also gilt x = 0 ist die einzige Lösung.

Answer 3

Um den Bruch zu lösen  muss man alle Faktoren auf den gleichen nenner  bringen. Hier dem Fall ist der Hauptnenner:

(x-3)*(x-4)

also  sieht  die Bruchgleichung  dann so aus:

(x-3)*(x-3)+  (x-4)*(x-4)                 (x-5)²

------------------------------    =       -----------------

(x-3)*(x-4)                                   (x-3)*(x-4)

 da beide  seiten  un den gleichen Nenner haben , betachtet man den Zähler

x²-6x+9+x²-8x+16=x²-10x+25     |  nun auf beiden Seiten -x³;+10x, -25 rechnen

x²-4x                     =0                   | Distibutivgesetz anwenden, dh. Klammern setzen

x(x-4)                    =0

x₁=0

x₂=4

Probe1:     (0-3)²+(0-  4)²                   (0-5)²                           9+16                      25

               -------------------        =        --------         ⇒    ---------------------     =---------------

                (0-3)*(0-4)                      (0-3)*(0-4)                    12                         12

  ⇒25/12=25/12

Probe 2:    für x ₂=4    Nenner nicht definiert da 0

Lösung ist dann x=0

Vielleicht siehst du dir die Lektion Bruchgleichungen von Matheretter dazu einmal an: