Question

Sei V ein K-Vektorraum und U1,U2 ⊂V zwei Untervektorräume von V .

a) Zeigen Sie, dass U1∩U2 wieder ein Untervektorraum von V ist.

b) Zeigen Sie, dass U1∪ U2 kein Untervektorraum von V ist.

Danke für die Hilfe

Comments

Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und U₁, U₂ Untervektorräume von K. Sind folgende Mengen ebenfalls Untervektorräume von V?

a) U₁∩U₂

b) U₁∪U₂

c)U₁+U₂ := {u + v I u∈ U₁  , v∈ U₂}

d)v + U₁ := {v+u I u∈U₁} für ein v ∈ V

Hinweis: man achte darauf, dass die Antworten von U₁, U₂ und v abhängen können.

---

Hat jemand einen Ideen ueber Aufgabe d)?

---

hat jemand Idee ??

---

Ein Teil deiner Frage kommt hier wieder: https://www.mathelounge.de/297891/beweisen-widerlegen-jeden-vektorraum-alle-untervektorraume#c298775

Answer 1

a) jedes Element von \( A := U_1 \cap U_2 \) liegt ja in \( U_1\) und in \( U_2 \). Da die beiden Untervektorräume sind liegt jede Linearkombination der Elemente aus \(A\) in \(U_1\) und \(U_2\) also auch in \(A\).

b) Zeige dies mittels Gegenbeispiel. Nimm dafür 2 beliebige Basisvektoren und betrachte die von ihnen erzeugten Unterräume. Zeige, dass die Summe der beiden Basisvektoren weder in dem einen noch in dem anderen Unterraum liegen.

Gruß