Zeigen Sie, dass (Rn [x] * , +; ) ein R-Vektorraum ist !

Question

Betrachten Sie die Menge \( \mathbb{R}_{n}[x]=\{p(x) \in \mathbb{R}[x] \mid \operatorname{deg}(p) \leqslant n\} \) der Polynome maximal \( n \)-ten Grades über den reellen Zahlen.

a) Auf \( \mathbb{R}_{n}[x] \) sei für zwei beliebige Elemente \( f(x)=a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \) und \( g(x)= \) \( b_{n} x^{n}+\cdots+b_{1} x+b_{0} \) und \( \alpha \in \mathbb{R} \) eine Addition durch

\( f(x)+g(x):=\left(a_{n}+b_{n}\right) x^{n}+\cdots+\left(a_{1}+b_{1}\right) x+\left(a_{0}+b_{0}\right) \)

und eine Skalarmultiplikation durch

\( \alpha \cdot f(x):=\left(\alpha \cdot a_{n}\right) x^{n}+\cdots+\left(\alpha \cdot a_{1}\right) x+\left(\alpha \cdot a_{0}\right) \)

definiert. Zeigen Sie, dass \( \left(\mathbb{R}_{n}[x],+, \cdot\right) \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum ist.

Ansatz:

Muss ich hier die Vektorraumaxiome zeigen?

Wenn ja, kann mir jemand nur V1 (Assoziativgesetz) zeigen.

Damit ich weiß, wie es von der Schreibweise aussehen muss.

Answer 1

ja genau die Eigenschaften aus der Definition sollst du zeigen.

Zum Assoziativgesetz:

Betrachte 3 Elemente \( f,g,h \in \mathbb{R}_n[x] \)

Du kannst diese Elemente auch in dieser Form aufschreiben:

$$ f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k $$

Dann gilt ja aufgrund der Assoziativität der Addition von reellen Zahlen:

$$ f(x) + (g(x) + h(x)) = \sum_{k=0}^na_k x^k + \left( \sum_{k=0}^n b_k x^k + \sum_{k=0}^nc_k x^k \right) $$

$$ = \left( \sum_{k=0}^na_k x^k + \sum_{k=0}^nb_k x^k \right) + \sum_{k=0}^nc_k x^k  = (f(x) + g(x)) + h(x) $$

Gruß

Comments

Man sollte aber noch genauer begründen, warum \(\sum\limits_{k=0}^na_kx^k+\left(\sum\limits_{k=0}^n b_k x^k+\sum\limits_{k=0}^nc_kx^k\right)=\left(\sum\limits_{k=0}^na_k x^k+\sum\limits_{k=0}^n b_k x^k\right)+\sum\limits_{k=0}^nc_k x^k\) gilt.

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Aus der Definition kriegt man den Zwischenschritt

$$ \sum_{k=0}^na_k x^k + \left( \sum_{k=0}^nb_k x^k + \sum_{k=0}^nc_k x^k \right) = \sum_{k=0}^na_k x^k + \sum_{k=0}^n(b_k+c_k) x^k = ... $$

Der Rest sei dem Fragesteller überlassen.