Aussagen zu Matrizen beantworten

Question

Aufgabe - Matrizen und lineare Gleichungssysteme:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

(a) Die Menge der Matrizen \( A \), welche

\( A\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right) \quad \text { und } A\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \)

erfüllen, enthält mehr als 2 Elemente.

(b) Es existiert eine Matrix \( A \) mit \( A\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) und \( A\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \).

(c) Sei \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \). Sei \( b \in \mathbb{R}^{3} . \) Wenn \( \left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid A x=b\right\}=\mathbb{R}^{2} \) ist, dann gilt \( A=0 \) und \( b=0 \).

(d) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \backslash\{0\} . \) Ist \( m>n \), dann ist \( \operatorname{dim}\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}=0 \)

(e) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \backslash\{0\} . \) Ist \( m<n \), dann ist \( \operatorname{dim}\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}>0 \)

Ansatz/Problem:

1. Bin ich bei A bis C richtig vorgegangen?

und

2. Zu D bzw. E fehlt mir ein Ansatz, bzw. eine Vorstellung. Wie könnte ich da weiter kommen?

Die ersten beiden Aufgaben habe ich nach folgendem Schema gelöst:

1. welcher Gestalt muss die gesucht Matrix A sein? Bei a) 2x3 und bei b) 3x2 (Zeilen x Spalten)

2. den Elementen solch einer Matrix A habe ich die Bezeichnungen a bis-f gegeben und dann die Multiplikation durchgeführt.

3. so entstehen dann Gleichungen (z.B. bei aI): a + c = 2 und d + f = 3 ; b = e = 0)

4. für diese Gleichungen gibt es bei a) und b) immer unendlich viele Lösungen

Daraus folgt doch, dass es immer die geforderte Matrix A gibt.

Ist das korrekt?

Aufgabe C habe ich so verstanden: Kann, damit die Gleichung gilt, x beliebig aus R² gewählt werden?

Ich denke nicht. Die beiden Elemente des Vektors x dürfen zum Beispiel nicht beide 0 sein.

Answer 1

1. Bin ich bei A bis C richtig vorgegangen?

und

2. Zu D bzw. E fehlt mir ein Ansatz, bzw. eine Vorstellung. Wie könnte ich da weiter kommen?

Die ersten beiden Aufgaben habe ich nach folgendem Schema gelöst:

1. welcher Gestalt muss die gesucht Matrix A sein? Bei a) 2x3 und bei b) 3x2 (Zeilen x Spalten)

2. den Elementen solch einer Matrix A habe ich die Bezeichnungen a bis-f gegeben und dann die Multiplikation durchgeführt.

3. so entstehen dann Gleichungen (z.B. bei aI): a + c = 2 und d  + f = 3 ; b = e = 0)

4. für diese Gleichungen gibt es bei a) und b) immer unendlich viele Lösungen

Daraus folgt doch, dass es immer die geforderte Matrix A gibt.

Ist das korrekt?

ICH WÜRDE DAS NOCH ERWEITERN: Gib doch einfach 3 verschiedene Matrizen an,

dann hast du ja bewiesen, dass es mehr als 2 gibt.

Aufgabe C habe ich so verstanden: Kann, damit die Gleichung gilt, x beliebig aus R² gewählt werden?

Ich denke nicht! Die beiden Elemente des Vektors x dürfen zum Beispiel nicht beide 0 sein.

Aber du sollst ja zeigen:  Es geht nur, wenn A=0 und b=0.

Also müsstest du so beginnen, sei A ungleich 0 oder b ungleich 0 und dann zeigen, dass dies nicht

möglich ist. Das könnte so gehen:

1. Fall  b ungleich 0-Vektor, dann gibt es eine Komponente von b, die nicht 0 ist.

Diese Komponente sei c.   Also c ungleich Null.

Sei   (  u  ;  v)  die entsprechende Zeile der Matrix A

Dann gilt für alle x1, x2 aus IR    x1*u + x2 * v = c

insbesondere auch für x1 = x2 = 0, also  c=0 im Widerspruch zur Annahmec ungleich Null.

2. Fall:           A ungleich 0, dann gibt es eine Zeile von A,

                  in der mindestens ein Element ungleich 0 ist.

diese Zeile sei   (  u  ;  v). und das entsprechende Element im Vektor b sei   z.

Da die Lösungsmenge IR^2 ist, gilt für alle x1, x2 aus IR

u*x1 + v*x2 = z

also insbesondere für x1 = x2 = 0 und damit  z=0

Da einer der beiden (u oder v) ungleich Null ist, sagen wir mal u [für v ginge es entsprechend]

existiert 1/u   und da      u*x1 + v*x2 = z für alle  x1, x2 aus IR gilt, gilt es auch für

x1 = 1/u und x2=0    also  u*(1/u)  + v*0 = z   also z=1

im Widerspruch zu z=0.

zu d) findet man leicht ein Gegenbeispiel:  mit m=3 und n=2     A = (  1    -1 )

0     0

0     0

Die Gleichung  A * x = 0 reduziert sich auf  1*x1    -  1* x2 = 0.  (Der Rest stimmt eh.)

und das gilt für alle x1=x2. Also ist die Lösungmenge { (t,t) | t aus IR } mit der Basis (1;1) also dim=1.

Bei e) ist es ja so, dass - wenn es nicht gelten würde - dim=0 wäre.

also in der Lösungsmenge nur der Nullvektor ist.

Da aber A ungleich 0 ist, gibt es mindestens ein Element in A, dass nicht Null ist

und wenn wieder  u1, u2,u3 ,   .....   un die entsprechende Zeile ist, mit etwa u1 ungleich 0,

dann ist     u1*1   +0* u2 + 0*u3    ..... +0* un = 0 , also wäre (1,0,0,....,0) ein Element der Lösungsmenge,

das nicht 0 ist. Widerspruch!

Comments

Ich bin nun deine Antworten durchgegangen.

Teilaufgabe c und d habe ich jetzt verstanden, a und b noch nachgebessert.

Aber e) ? Vektor x muss doch nur dann {0} sein ( und damit dim=0 ?) , wenn ALLE Elemente
von A ≠ 0. Falls A sagen wir, an erster Stelle eine 1 hat, und danach nur Nullen kommen, könnte
x an den passenden Stellen ja Eintäge ungleich Null besitzen. Z.B:

x ∈ Rⁿ = (0,λ₁,...,λ_n) mit λ ∈ R dann besitzt x doch dim > 0?