Wie lange dauert es, bis sich Ihr Kapital genau verzehnfacht hat?

Question

Aufgabe:

a) Sie legen einen Betrag \( K_{0} \) zu einem Zinssatz von \( \mathrm{z}=4 \% \) jährlicher Verzinsung an. Wie lange dauert es, bis sich Ihr Kapital genau verzehnfacht hat? (Ergebnis auf zwei Dezimalstellen gerundet angeben.)

Stellen Sie dazu zunächst die Gleichung für die Berechnung des Kapitals \( K(t) \) auf, und entwickeln Sie daraus die Gleichung für die Dauer \( \boldsymbol{t} \).

b) Die Bank unterbreitet Ihnen das Alternativangebot, das Startkapital \( K_{0} \) für die erste Hälfte der Laufzeit zunächst zu einem Zinssatz \( \operatorname{von} \mathrm{z}_{1}=7 \% \) anzulegen, für die zweite Hälfte jedoch nur noch zu einem Zinssatz von \( \mathrm{z}_{2}=\mathbf{1} \% \). Auch in diesem Fall wollen Sie genau eine Verzehnfachung des Kapitals erreichen; wie lange dauert es in diesem Fall (Ergebnis auf zwei Dezimalstellen gerundet angeben!)? Stellen Sie auch in diesem Fall zunächst die Gleichung für die Berechnung des Kapitals \( \boldsymbol{K}(\boldsymbol{t}) \) auf, und entwickeln Sie daraus die Gleichung für die Dauer \( \boldsymbol{t} \).

Answer 1

zu Aufgabe a)

K_t = K*(1+p)^t

Nun K_t = 10K

10K = K*1,04^t

10 = 1,04^t

ln(10) = t*ln(1,04)

t = ln(10)/ln(1,04) ≈58,71

Es braucht also knapp 59 Jahre...und ist unabhängig vom Anfangskapital ;).

zu Aufgabe b)

Ich würde da wohl folgendes versuchen:

10K = K*1,07^t * 1,01^d

wobei nun t = d sein muss (denn die sind ja jeweils die Hälfte der Gesamtzeit)

10 = 1,07^t * 1,01^t

10 = (1,07*1,01)^t

t = ln(10)/ln(1,0807) ≈ 29,67

Hier wäre man also schon nach fast 30 Jahre bei der Verzehnfachung seines Kapitals ;).

Grüße

Answer 2

K(t) = Ko * (1,04)^t
Für K(t) = 10 * Ko also

10 *Ko = ko * 1,04^t    | : ko

10 = 1,04^t
ln(10) = ln(1,04) * t

t =  ln(10) / ln(1,04 ) = 2,3025  /  0,03922  = 58,708 also etwa 58,71 Jahre