Quaderformiger Swimmingpool: Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen das Wasser weder zu- noch abläuft.

Question

Ein quaderformiger Swimmingpool mit \( 8 \mathrm{~m} \) Länge, \( 5 \mathrm{~m} \) Breite und \( 3 \mathrm{~m} \) Höhe wird mit Wasser gefüllt.

Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe \( 0,1 \mathrm{~m} \).

Der Zu- bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft beschrieben durch die Zulaufratenfunktion f mit

\( f(t)=t^{3}-13 t^{2}+40 t, 0 \leq t \leq 9 \)

\( \left(\mathrm{f}(\mathrm{t})\right. \) in \( \mathrm{m}^{3} \) pro Stunde, \( \mathrm{t} \) in Stunden)

a) Geben Sie die Zeitpunkte an, zu denen das Wasser weder zu- noch abläuft.

b) Berechnen Sie die Zeitpunkte des maximalen Zu- bzw. Abflusses.

c) Skizzieren Sie den Graphen der Zulaufratenfunktion f.

d) Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Pool?

e) Bestimmen Sie die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfullvorgangs.

f) Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Pool.

g) Erläutern Sie, weshalb die Definitionsmenge von f beschränkt ist.

Answer 1

Zuerst musst du, wie du es auch gemacht hast, das Integral berechnen, wichtig ist, dass du weißt das du hier durch integration aus der Einheit m³/h m³ gemacht hast also das du ein volumen berechnet hast, danach kannst du die formel für das volumen eines Vierkantprismas nehmen und nach der Höhe umformen, und anschließend 0,1m hinzu Addieren um den Anfangswasserpegel zu berücksichtigen.

Hier der Rechenweg:

$$\int_{0}^{9}f(t)dt=V$$

$$V=abc=lbh$$

$$h=\frac{V}{lb}$$

$$h=\frac{\int_{0}^{9}f(t)dt}{lb}+0,1m$$