Matrizen und lineare Gleichungssysteme: Aussagen wahr oder falsch?

Question

Aufgabe - Matrizen und lineare Gleichungssysteme:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

(a) Die Menge der Matrizen \( A \), welche

\( A\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right) \quad \text { und } A\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \)

erfüllen, enthält mehr als 2 Elemente.

(b) Es existiert eine Matrix \( A \) mit \( A\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \) und \( A\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right) \).

(c) Sei \( A \in \mathbb{R}^{3 \times 2} \). Sei \( b \in \mathbb{R}^{3} \). Wenn \( \left\{x \in \mathbb{R}^{2} \mid A x=b\right\}=\mathbb{R}^{2} \) ist, dann gilt \( A=0 \) und \( b=\mathbf{0} \).

(d) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \backslash\{0\} . \) Ist \( m>n \), dann ist \( \operatorname{dim}\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}=0 \).

(e) Sei \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \backslash\{0\} \). Ist \( m<n \), dann ist \( \operatorname{dim}\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}>0 \).

Quelle: mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel/

Answer 1

Zu a) Die Aussage ist wahr.

A muß eine (2,3) Matrix sein: $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$$

Einsetzen der Werte ergibt insgesamt 4 Gleichungen für 6 Unbekannte. Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, der Lösungsraum hat die Dimension 2 und Aussage A ist folglich wahr.

Zu b) Die Aussage ist falsch.

Der zweite Vektor ist gleich dem ersten Vektor multipliziert mit 2, das gilt aber nicht für die Ergebnisse nach der Multiplikation mit A. Das resultierende Gleichungssystem ist nicht lösbar.

Zu c) Die Aussage ist wahr.

A ist eine (3,2) Matrix. Das resultierende Gleichungssystem ist überbestimmt, für das es normalerweise nicht immer Lösungen gibt. Wenn jeder beliebige Vektor x das Gleichungssystem löst, muß A die Nullmatrix sein und daher b der Nullvektor.

Zu d) Die Aussage ist falsch.

Der Rang von A kann maximal n sein, aber auch kleiner. Nach dem Dimensionssatz ist dim(Kern(A)) nur Null, wenn Rang A gleich n, was aber nicht sein muß.

Zu e) Die Aussage ist wahr

Der maximale Rang von A ist m. Nach dem Dimensionssatz ist daher Dim(Kern(A)) = n - r > n - m > 0 und der Kern nicht trivial.