Grenzwert bestimmen, wenn x gegen 1 geht

Question

Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, falls sie existieren:

$$ \lim_{x\to{1}}\frac { x^4-x^3+x^2-x+1 }{ x^4+x^3+x^2+x+1 } $$

Bislang habe ich nur Grenzwerte bestimmt, wenn x gegen unendlich strebt. Wie ich nun den Grenzwert bestimme, wenn x gegen eine bestimmte Zahl, hier 1, strebt, weiss ich nicht recht. 

Answer 1

Du musst Dir den Nenner anschauen. Kann man da 1 einsetzen, ohne dass der Nenner 0 wird?

Ja, das ist möglich. Es gibt also keine Problemstelle und Du kannst den Grenzwert errechnen, indem Du einfach einsetzt.

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Grüße

Comments

Herzlichen Dank für die helfende Antwort!

Ich verstehe, zuerst also den Nenner beurteilen. Hier hab' ich grade so ein Beispiel:

$$ \lim_{x\to{1}}\frac { x^3+x^2-x-1 }{ x^2-1 } $$

Unten habe ich jetzt genau das Problem. Man kann ja auch so schreiben:

$$ \lim_{x\to{1}}\frac { x^3+x^2-x-1 }{ (x-1)(x+1) } $$

Einsetzen von 1 im Nenner führt also zu einem Problem. Wie würdest Du hier jetzt vorgehen, bitte?

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Genau. Nun hast Du

$$\lim_{x\to{1}}\frac { x^3+x^2-x-1 }{ (x-1)(x+1) }$$
vorliegen. Da probiere mal, ob die 1 auch eine Zählernullstelle ist, denn dann hätten wir eine hebbare Definitionslücke vorliegen, was für Dich bedeutet: Polynomdivision.
Dem ist so, also x = 1 ist tatsächlich eine Zählernullstelle. Gekürzt (Polynomdivision) ergibt sich dann:

$$\lim_{x\to{1}}\frac { x^3+x^2-x-1 }{ (x-1)(x+1) } = \lim \frac{x^2+2x+1}{x+1}$$

Man erkennt sofort, dass man noch weiter kürzen könnte, da der Zähler eine binomische Formel ist und es ergibt sich:

$$\lim x+1 = 2$$

Ok? ;)

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Hervorragend Mr. Unbekannt. Besten Dank, ich habe verstanden! (:

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P.S.: Ich hätte ja Deine Antwort nur zu gerne als Beste markiert, jedoch ist der Button nicht mehr da. :/ Habe dieses Problem schon gehabt. Ärgerlich. -_-

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Freut mich, wenn ich Dir helfen konnte ;).

Hmm, da Du Dich wieder mit der gleichen Gast-ID meldest, sollte das eigentlich kein Problem sein?

Ansonsten: Einfach mal anmelden :D.

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Beste Antwort ausgezeichnet.

@Gast: https://www.mathelounge.de/faq#qu55