Funktionswert an einer Stelle so festlegen, dass f stetig ist

Question

$$ f(x) = \frac{|x|}{2x} $$

ist für x = 0 nicht definiert. Ist es möglich, den Funktionswert an dieser Stelle so festzulegen, dass f dort stetig ist?

Meine Frage ist: Wie muss ich bitte bei einer solchen Aufgabe vorgehen? 

Answer 1

Vorgehen: Bestimme den Grenzwert für x gegen 0 von links und von rechts separat.

Falls 2 mal dasselbe endliche Resultat rauskommt z.B. a , kannst du mit der Definition f(0) : = a die Funktion stetig machen.

Das wird hier aber nicht gelingen.

f(x) = |x| / (2x)

Von rechts: Fall x> 0.

f(x) = x / (2x) = 1/2

lim _{x gegen 0+} 1/2 = 1/2

Von links: Fall x<0

f(x) = -x / (2x) = -1/2

lim _{x gegen 0-} -1/2 = -1/2

Weil -1/2 ≠ 1/2 kann f in 0 nicht stetig ergänzt werden.

Comments

Dankeschön für die Hilfe, Lu!

Wie ich sehe, testest Du für "von rechts" und für "von links" jeweils nur einen Fall des Absolutbetrages. Ich verstehe jetzt wieso. Von rechts her muss die Funktion als Ganzes ja positiv sein, daher nehmen wir den positiven Fall des Betrages. Von links negativ.

Nochmals danke!

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Schön, wenn du das begriffen hast. Ich kürze einfach das x weg, wenn ich mal die Betragstriche weg habe.

Answer 2

Hier noch ein Bild der Funktion

Die Funktion macht an der Stelle x = 0 einen
Sprung von -0.5 nach 0.5

mfg Georg

Comments

Danke Georg! Aus dem Schaubild ist jetzt natürlich sofort ersichtlich, dass wir keine Chance haben die Funktion stetig zu machen (an dieser Stelle).