Welchen Inhalt hat das endliche Flächenstück, das der Graph der Funktion f(x) mit der x-Achse einschließt?

Question

was soll ich unter dieser Angabe verstehen:

Welchen Inhalt hat das endliche Flächenstück, das der Graph der Funktion f(x) mit der x-Achse einschließt?

Bsp: f(x) = x³ - 4x

und ein weiteres Beispiel:

f(x) = x⁴ - 13x² + 36

Danke für hilfreiche Antworten

Answer 1

∫ (-2 bis 2) (ABS(x^3 - 4·x)) = 8

∫ (-3 bis 3) (ABS(x^4 - 13·x^2 + 36)) = 95.73333368

Skizze für Aufgabe 1

Answer 2

Da sollte z.B. noch stehen im welchen Quadranten das Flächenstück liegen soll.

Bei  f(x) = x³ - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) gibt es 2 endliche Flächenstücke.  Du kannst jedes von denen mit einer bestimmten Integration von 0 bis 2 oder von -2 bis 0  berechnen. Vom Resultat den Betrag nehmen.

Bei f(x) = x⁴ - 13x² + 36

gibt es 3 eingeschlossene endliche Flächenstücke. Wiederum die Grenzen der Integration an 2 aufeinanderfolgende Nullstellen legen.

Answer 3

Bsp: f(x) = x³ - 4x   Nullstellen sind bei  -2  0  und 2
Da teilweise über und unter der x-Achse also am besten

Integral von -2  bis o über f(x) dx  und das Ergebnis mal 2
gibt  4*2 = 8

und ein weiteres Beispiel:

f(x) = x⁴ - 13x² + 36

Nullstellen mit Substitution z = x^2 gibt dann 3, 2, -2 und -3

Für die Stücke unter der x-Achse den Betrag vom Integral 2 bis 3  f(x)  dx  und dann mal 2 gibt

2 * |-62/15| = 124/15

und für das Stück über der x-Achse Integral von -2 bis 2

gibt 1312/15

also zusammen 1436/15 ungefähr 96 FE