Für jede Zahl t ist eine Funktion f gegeben durch f(x)=x^3 -(x-t)^2

Question

a) Für welchen Wert von t besitzt der Graph keine Extrempunkte?

b) Gibt es eine Funktion, die für x=2 ein lokales Maximum hat?

c) Welche Beziehung besteht für zwei Werte t und t* , wenn sich die betreffenden Kurven auf der Geraden x=1 schneiden?

Answer 1

$$ f_t(x)=x^3 -(x-t)^2 $$
keine Extrempunkte hat es wenn die Ableitung keine reelle Nullstelle besitzt
$$ f'_t(x)=3x^2 -2(x-t) $$
$$ f'_t(x)=3x^2 -2x+2t $$
Nun ab in die Mitternacht damit und schauen, bei welchen t die Determinante negativ wird

Answer 2

ein paar Hinweise, wir nennen die Funktion ab jetzt mal \( f_t(x)\)

a) Betrachte zuerst die Bedingung  \( f_t'(x) = 0 \) und berechne t so, dass diese quadratische Gleichung keine Lösung besitzt.

b) Schau dir   \( f_t(2)'' \) an.

c) Setze \( f_t(1) = f_{t^*}(1) \) und zeige durch Rechnung, dass \( t = t^* \) rauskommt.

Gruß

Comments

und zeige durch Rechnung, dass  t = t^*  (fehlt : oder was anderes) rauskommt

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Danke für den Hinweis, hab es korrigiert.

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als Korrektur hätte ich   t + t^*  =  2   erwartet.

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Ich kam jetzt auf t= -1,5 x^2 -x
wie kann ich jetzt nach x auflösen?

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@ Gast hj216:

Du hast natürlich Recht, ich habe nur den 1. Fall betrachtet bei \( (1-t)^2 = (1-t^*)^2 \).

Richtig wäre also: \( t = t^* \) oder \( t + t^* = 2 \)

Danke nochmal :)

@ Gast jb511: Betrachte nochmal die quadratische Gleichung und benutze die pq-Formel. Was muss unter der Wurzel stehen damit man keine Lösung für x bekommt? Damit solltest du dann t berechnen.

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Letzendlich hatte ich

0= x^2 -2/3x + 2/3 t

demnach habe ich die pq formel benutzt und für t -5 eingesetzt.

Ist das so richtig?