Charakteristische Funktion (Indikatorfunktion) nicht notwendigerweise injektiv, surjektiv

Question

Seien A1, A2, . . . , Am mit m ∈ N Teilmengen einer Menge M. 

χA ist charakteristische Funktion (Indikatorfunktion) einer Menge A . Wir definieren eine Funktion

χ : M → {0, 1} ^m

(der Ausdruck {0, 1} ^m bezeichnet das m-fache Mengenprodukt von {0, 1} mit sich selbst,

also {0, 1} ^m = {0, 1} × {0, 1} × . . . × {0, 1}) durch χ(x) = (χ_A1(x), χ_A2(x), . . . , χ_Am(x)), für

alle x ∈ M.

1. Beweisen Sie, dass χA nicht notwendigerweise injektiv ist.

2. Beweisen Sie, dass χA nicht notwendigerweise surjektiv ist.

3. Geben Sie für m = 3 ein konkretes n und konkrete Mengen A_i, 1 ≤ i ≤ m, an, sodass

χ eine Bijektion ist.

Comments

Meinst du bei 1. und 2. wirklich \( X^A\) und nicht \( \underline{X} \)?

Answer 1

Sei M = { 1;2;3,4} und A1={1;2}  , A2={2;3;4}  und A3 = ={3;4}

dann hat chi_ : M ------>  {0;1}^3   die Werte

chi_(1) = ( 1;0;0)   chi_(2) = (1;1;0)   chi_(3)=(0;1;1)  chi_(4)=(0;1;1)

alos chi_(3)=chi_(4) aber 3 ungleich 4 also chi_ nicht injektiv.

auch nicht surjektiv, denn (0;0;0) wird nicht als Bild erreicht, da alle x aus M in mindestens einem Ai sind.

für die Bijektion braucht man wegen der Injektivität

8 Elemente in  M ; denn es gibt 8 Tupel in {0;1}^3  .

Also M={0..7}

wegen surjektivität müssen alle Tupel vorkommen
wenn man alle aufschreibt
000
001
010
011
100
101
110
111
nun kommen in A1 alle, die vorne eine 1 haben      4,5,6,7,
in A2 alle, die in der Mitte eine 1 haben    2,3,6,7
in A3   alle, die hinten eine 1 haben   {1,3,5,7,}
dann ist f(0) das erste Tupel,
 f(1) das zweite usw.

also werden alle erreicht (chi_ surjektiv und kommen
keine mehrfach vor xhi_ injektiv    BINGO!