Summe der Erwartungswerte = Erwartungswert der Summe? Beweis der "3-UHr-nachts" Regeln

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die "3 Uhr nachts" -Regeln zum Erwartungswert der Zufallsvariablen X,X₁,...,X_n:

(a) E\( \sum\limits_{i=1}^{n}{X} \)_i = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{EX} \)_i

(b) Ε1_A(x) = ℙ(x ∈ A)

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Comments

Irgendwelche Klammern vorhanden oder mitgemeint?

Wie würdest du das vorlesen?

---

Zu (a) Der Erwartungswert der Summe der X i ist gleich die Summe der Erwartungswerte der X in

(b) das E steht wieder für den  Erwartungswert und die 1 fur die Indikatorfunktion

Answer 1

Hi,

Zu (a)

Ich mach das mal für zwei Zufallsvariablen \( X \) und \( Y \). Für \( n \) Variable geht es ähnlich.

$$  \mathbb{E}(X+Y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty (x+y) \ f_{X,Y}(x,y) \ dx \ dy = \int_{-\infty}^\infty x f_X(x,y) dy + \int_{-\infty}^\infty y f_X(x,y) dx = \\ \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y) $$

Wobei $$ f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) \ dy $$ die Randdichte der Zufallsvariablen \(X \) und $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y) dx $$ die Randdichte der Zufallsvariablen \( Y \) ist und $$ f_{X,Y}(x,y) $$ die gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen \( X \) und \( Y \) ist.

Zu (b)

$$ \mathbb{E} \left( \chi_A(x) \right) = \int_\Omega \chi_A(x) dx = \int_A dx = P(A)   $$