Antwort mit KI erzeugt
Aufgabe:
Die gegebene Aufgabe verlangt den Nachweis, dass die Abbildung \(\iota: \mathcal{P}(A) \rightarrow \operatorname{Abb}(A, \{0,1\}), T \mapsto \iota_{T}\) eine Bijektion ist. Eine Funktion ist genau dann eine Bijektion, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Wir betrachten daher diese beiden Eigenschaften getrennt.
Injektivität zeigen:
Eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Elemente des Definitionsbereichs auf unterschiedliche Elemente des Zielbereichs abgebildet werden. In diesem Kontext müssen wir zeigen, dass wenn \(T_1\) und \(T_2\) unterschiedliche Teilmengen von \(A\) sind, die durch \(\iota\) induzierten Indikatorfunktionen \(\iota_{T_1}\) und \(\iota_{T_2}\) ebenfalls unterschiedlich sind.
Angenommen, \(T_1\) und \(T_2\) sind unterschiedliche Teilmengen von \(A\), d.h. \(T_1 \neq T_2\). Dann gibt es mindestens ein Element \(a\) in \(A\), das nur in einer dieser beiden Mengen enthalten ist (ohne Beschränkung der Allgemeinheit sagen wir \(a \in T_1\) und \(a \notin T_2\)). Für dieses Element \(a\) wird \(\iota_{T_1}(a) = 1\) und \(\iota_{T_2}(a) = 0\), was bedeutet, dass \(\iota_{T_1} \neq \iota_{T_2}\). Daraus folgt, dass \(\iota\) injektiv ist.
Surjektivität zeigen:
Eine Funktion ist surjektiv, wenn jeder Wert im Zielbereich mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Hier bedeutet das, dass wir für jede Abbildung \(f: A \rightarrow \{0,1\}\) eine Teilmenge \(T \subseteq A\) finden müssen, sodass \(\iota_{T} = f\).
Sei \(f: A \rightarrow \{0,1\}\) eine beliebige Funktion. Wir konstruieren die Teilmenge \(T \subseteq A\) wie folgt: \(T = \{a \in A | f(a) = 1\}\). Für jedes Element \(a \in A\), gilt:
- Falls \(a \in T\), dann ist \(f(a) = 1\), was bedeutet, dass \(\iota_{T}(a) = 1\).
- Falls \(a \notin T\), dann ist \(f(a) = 0\), was bedeutet, dass \(\iota_{T}(a) = 0\).
Deshalb entspricht für jede Funktion \(f\), die Teilmenge \(T\) induziert durch \(f\) die Indikatorfunktion \(\iota_{T}\), die gleich \(f\) ist. Dies bedeutet, dass \(\iota\) surjektiv ist.
Zusammenfassung:
Da \(\iota\) sowohl injektiv als auch surjektiv ist, haben wir gezeigt, dass \(\iota: \mathcal{P}(A) \rightarrow \operatorname{Abb}(A,\{0,1\}), T \mapsto \iota_{T}\) eine Bijektion ist. Damit ist die Abbildung eine eineindeutige Zuordnung zwischen der Potenzmenge von \(A\) und der Menge aller Abbildungen von \(A\) nach \(\{0,1\}\).
