Bijektion zwischen Menge und Potenzmenge

Question

ich soll folgende Aufgabe lösen:

Sei N = {1,...,n} mit n ∈ ℕ_≥2. Zeigen Sie, dass es eine Bijektion zwischen der Menge M = {A ⊆ N | n ∈ A} und P({1,...,n−1}) gibt.


Um eine Bijektion zu zeigen, müssen ja beide Mengen gleich viele Elemente enthalten, meine Idee wäre jetzt gewesen, irgendwie die Mächtigkeit der beiden Mengen gleich zusetzten, allerdings habe ich keine Ahnung, wie denn wir haben bis jetzt Bijektivität ausschließlich für Funktionen gezeigt, die 2 Abbildungen miteinander verknüpfen.
Zudem habe ich noch eine Frage: bei der Definition der Menge M wird ja beschrieben, dass A eine Teilmenge von N ist; warum steht das in bei der Definition von M?

MfG

Answer 1

M = {A ⊆ N | n ∈ A}

Das sind alle Teilmengen von N, die n enthalten.

P({1,...,n−1}) Das sind alle Teilmengen  von

{1,...,n−1} = N \ {n}.

Betrachte die Abbildung f : M → P({1,...,n−1})

                                           A → A \ {n}.

Das ist eine Bijektion.

Comments

Danke das klingt schonmal sehr plausibel. Wie kann ich denn jetzt weiter vorgehen um das ganze zu beweisen? Kann ich zunächst Surjektivität und dann Injektivität zeigen, um dann auf Bijektivität zu schließen?

Ich weiß nicht so recht wie ich da mit den Bedingungen von Surjektivität und Injektivität ansetzen soll (f(x) = y und f(x₁) = f(x₂) => x₁ = x₂

LG

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 f(x1) = f(x2) => x1 = x2 ist doch schon die richtige Idee.

Hier wohl so: Seien X,Y ∈ M. (Also Teilemengen von

 {1,...,n} , die beide das n enthalten. Und es gilt

                   f(X) = f(Y)

==>     X \ {n} =  Y \ {n}

Dann sind also die Restmengen von X und Y gleich,

wenn man jeweils das n wegnimmt.

Dann sind auch die Mengen gleich, wenn bei beiden

das n wieder hinzufügt, also X = Y.

Versuche mal selbst für "surjektiv" zu

argumentieren.