Frage zur Irrationalität von Quadratwurzeln

Question

Ich soll beweisen:

(a) für welche a ∈ ℕ √a ∈ ℕ gilt ?

(b) für welche a ∈ ℕ √a irrational ist ?

Comments

HIer beweist Matheretter warum √2 nicht rational ist. https://www.youtube.com/watch?v=evE13aFbJho

Ich vermute, dass sich das auf deine Aufgabe übertragen / verallgemeinern lässt.

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Ich bin grad am verzweifeln wie ich das bloß verallgemeinern kann, das Video ist sehr ausführlich aber ich kann mit dem Beispiel leider nicht allzuviel anfangen bzw. dies auf die Aufgaben a und b beziehen :( Bräuchte daher deine Hilfe 

Answer 1

Hi,

Hinweis zu a): Betrachte die Formel:

$$ \sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2 $$

zu b) Alle natürlichen Zahlen die nicht in der Menge aus Teilaufgabe a) liegen (das die Elemente aus der Menge ausgeschlossen werden können sollte klar sein). Wenn ihr Teilbarkeit behandelt habt dann zum Beispiel über Widerspruch:

sei \( a \in \mathbb{N} \). Annahme: \( \sqrt{a} \in \mathbb{Q}_+ \setminus \mathbb{N} \) (im Falle das die Wurzel positiv definiert wurde)

Dann kannst du \( \sqrt{a} = \frac{p}{q} \) schreiben mit \( p,q \in \mathbb{N} \) sind teilerfremd und  \( q > 1 \) (Überlege wieso! Das sollte eventuell begründet werden.) Jetzt mit Teilbarkeit argumentieren, warum der Widerspruch \( a \notin \mathbb{N} \) entsteht.

Gruß

Comments

Ich versteh leider nicht ganz was ich mit der Formel von Teilaufgabe a) anfangen soll ? Bitte etwas genauer erläutern .. danke 

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Schreib dir doch mal die ersten Elemente der Menge aus der Aufgabenstellung auf und dann schau mal wie du die Menge mit der Formel beschreiben kannst.

Answer 2

Vielleicht eine Hilfe
b ist der Wurzelwert von a
b soll eine natürliche Zahl sein.
b^2 = a
b = 0,1,2,3,4,5,...
a=0,1,4,9,16,25...
Ist a eine Quadratzahl ( aus ℕ ) dann ist
b auch in ℕ.
Bei allen anderen a´s dürfte √ a irrational sein.