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Aufgabe:

Wie kann man zeigen, dass die Lösung der Wurzelausdrucks irrational ist

Problem/Ansatz

Ich möchte gern wissen, ob die Lösung des Wurzelausdrucks irrational ist.$$x=\sqrt{1+ \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{4-a^{3}}{a^{3}}\right)} \phantom{20} a>0;\phantom{5}a^{3}\neq 3 \\$$
Es soll dabei die angegebene Einschränkung \( a^{3}\neq 3 \) gelten.
Die Überlegung geht zunächst davon aus, dass \(\sqrt{3}\) eine irrationale Zahl ist.Es müsste nun der zweite Faktor unter der Wurzel, also \(\frac{4-a^{3}}{a^{3}}\) , dahingehend untersucht werden,ob das Gesamt-Produkt unter der Wurzel ein rationaler Bruch werden könnte.
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Ich möchte gern wissen, ob die Lösung des Wurzelausdrucks irrational ist.

Das hängt doch davon ab, welchen Wert \(a\) hat.

Generell kann man das nicht entscheiden.

Wenn \(a^3=4\) ist, dann ist \(x=1\).

1 Antwort

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Der Radikand lässt sich vereinfachen zu \(\frac{2}{3}+\frac{4}{3a^3}\).

Das ist \(1\) für \(a = \sqrt[3]4\). Dann ist die Wurzel rational. Für \(a = \sqrt[3]\frac{2}{5}\) ist sie das ebenfalls. Und noch für viele andere Werte von von \(a\).

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