Ist die Lösung des Wurzelausdrucks irrational

Question

Aufgabe:

Wie kann man zeigen, dass die Lösung der Wurzelausdrucks irrational ist

Problem/Ansatz

Ich möchte gern wissen, ob die Lösung des Wurzelausdrucks irrational ist.$$x=\sqrt{1+ \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{4-a^{3}}{a^{3}}\right)} \phantom{20} a>0;\phantom{5}a^{3}\neq 3 \\$$
Es soll dabei die angegebene Einschränkung \( a^{3}\neq 3 \) gelten.
Die Überlegung geht zunächst davon aus, dass \(\sqrt{3}\) eine irrationale Zahl ist.Es müsste nun der zweite Faktor unter der Wurzel, also \(\frac{4-a^{3}}{a^{3}}\) , dahingehend untersucht werden,ob das Gesamt-Produkt unter der Wurzel ein rationaler Bruch werden könnte.

Comments

Ich möchte gern wissen, ob die Lösung des Wurzelausdrucks irrational ist.

Das hängt doch davon ab, welchen Wert \(a\) hat.

Generell kann man das nicht entscheiden.

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Wenn \(a^3=4\) ist, dann ist \(x=1\).

Answer 1

Der Radikand lässt sich vereinfachen zu \(\frac{2}{3}+\frac{4}{3a^3}\).

Das ist \(1\) für \(a = \sqrt[3]4\). Dann ist die Wurzel rational. Für \(a = \sqrt[3]\frac{2}{5}\) ist sie das ebenfalls. Und noch für viele andere Werte von von \(a\).