Im Körper gilt x^2 gleich plus oder minus 1

Question

a) Zeigen Sie, dass in einem Körper gilt x² =1⇔(x=1 oder x=-1)

b) Bestimmen Sie im Ring Z₈ alle Elemente x mit x² =⟨1⟩₈

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass in einem Körper gilt x² =1⇔(x=1 oder x=-1)

x^2=1

x^2 - 1 = 0

Da im Körper die distributivgesetze etc. gelten

(x-1)(x*1) = 0

Da körper keine Nullteiler haben

x-1 = 0    oder x+1 = 0

also (x=1 oder x=-1)

b) Bestimmen Sie im Ring Z₈ alle Elemente x mit x² =⟨1⟩_{8
am besten alle durchprobieren:}  
 
x=0          0^2 = 0 ungleich 1 also 0 keine Lösung
x=1         1^2 = 1 also Lösung
x=2          2^2 = 4   ungleich 1 also 0 keine Lösung
x=3         3^2 = 9 = 1 also Lösung
x=4          4^2 =16 = 0 ungleich 1 also 0 keine Lösung
etc.