Quadratische Gleichungen lösen: (3x-10)/(x-2) = 1 + (x-4)/(x+1)

Question

Könnt ihr mir bei den Beispielen den Rechenweg zu quadratischen Gleichungen erklären, also wie man solche Gleichungen löst.

$$ 1. \; \frac{3 x-10}{x-2}=1+\frac{x-4}{x+1} \\ 2. \; \frac{10 x}{(3 x+4) \cdot(2 x+1)}=\frac{5 x}{2 x+1} $$

Comments

x muss so gewählt werden, dass der Nenner der Brüche ≠ 0 ist.

In Aufgabe 1.) darf x also weder 2 noch -1 sein,

in Aufgabe 2.) kann x nicht einen der folgenden Werte annehmen: -4/3 und -1/2

Answer 1

Es folgen ausführliche Lösungen mit allen Schritten.

Lösung zu Aufgabe 1:

\(  \frac{3 x-10}{x-2}=1+\frac{x-4}{x+1}  \qquad |·(x-2) \\ 3x-10 =1·(x-2) + \frac{x-4}{x+1}·(x-2)  \qquad |·(x+1) \\ (3x-10)·(x+1) = 1·(x-2)·(x+1) + (x-4)·(x-2) \)

Jetzt ausmultiplizieren:

\( (3x·x+3x·1+(-10)·x+(-10)·1 = 1·(x·x + x·1 + (-2)·x + (-2)·1) + (x·x + x·(-2) + (-4)·x + (-4)·(-2) \\ 3x^2+3x -10x - 10 = x^2 + x -2·x - 2 + x^2 -2x -4x + 8 \\ 3x^2 - 7x - 10 = 2x^2 - 7x + 6 \\ 3x^2 - 7x - 10 = 2x^2 - 7x + 6  \qquad | -2x^2 \\ x^2 - 7x - 10 = - 7x + 6  \qquad | +7x \\ x^2 - 10 = 6  \qquad | +10 \\ x^2 = 16  \qquad | \sqrt{}\\ |x| = \sqrt{16} \\ x_1 = 4; \; x_2 = -4 \)

Mit der Probe sieht man, dass beide Lösungen korrekt sind.

Zeichnet man Linksterm und Rechtsterm als Graphen, sieht man die Lösungen als Schnittpunkte bei x=-4 und x=-4:

Lösung zu Aufgabe 2:

$$ \frac{10 x}{(3 x+4) · (2 x+1)}=\frac{5 x}{2 x+1} \qquad |·(2x+1) \\ \frac{10 x}{3x+4} = 5x \qquad |·(3x+4) \\ 10 x = 5x·(3x+4) \\ 10 x = 5x·3x+5x·4 \\ 10 x = 15x^2+20x \qquad |-10x \\ 0 = 15x^2+10x \qquad | \text{ Satz vom Nullprodukt* }\\ 0 = x·(15x+10) \\ \rightarrow x_1 = 0 \\ \; \\ \text{Lösung von 15x+10=0} \\ 15x + 10 = 0 \\ 15x = -10 \\ x = -\frac{10}{15} = -\frac{2}{3} \rightarrow x_2 = -\frac{2}{3} $$

*siehe: https://www.matheretter.de/wiki/satz-vom-nullprodukt

Zeichnet man Linksterm und Rechtsterm als Graphen, sieht man die Lösungen als Schnittpunkte:

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Lösung für die erste quadratische Gleichung

Um die gegebene Gleichung

\( \frac{3x-10}{x-2} = 1 + \frac{x-4}{x+1} \)

zu lösen, gehen wir schrittweise vor.

1. Brüche beseitigen: Zuerst möchten wir die Gleichung von Brüchen befreien, indem wir beide Seiten der Gleichung mit dem Produkt der Nenner \((x-2)(x+1)\) multiplizieren. Das gibt uns:

\( (3x-10)(x+1) = (x-2)(x+1) + (x-4)(x-2) \)

2. Ausmultiplizieren: Nun multiplizieren wir beide Seiten aus:

\( 3x^2 + 3x - 10x - 10 = x^2 - x - 2 + x^2 - 6x + 8 \)

Dies vereinfacht sich zu:

\( 3x^2 - 7x - 10 = 2x^2 - 7x + 6 \)

3. Gleichung umstellen: Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, bringen wir alle Terme auf eine Seite, um eine quadratische Gleichung in der Standardform \(ax^2 + bx + c = 0\) zu erhalten:

\( 3x^2 - 7x - 10 - (2x^2 - 7x + 6) = 0 \)

Simplifizieren führt zu:

\( x^2 - 16 = 0 \)

4. Quadratische Lösungsformel anwenden: Um \(x\) zu lösen, stellen wir die Gleichung wie folgt um:

\( x^2 = 16 \)

Wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten:

\( x = \pm\sqrt{16} \)

Das führt zu:

\( x = \pm4 \)

Daher sind die Lösungen für \(x\) in dieser Gleichung \(x = 4\) und \(x = -4\).

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Lösung für die zweite quadratische Gleichung

Die gegebene Gleichung lautet:

\( \frac{10x}{(3x+4) \cdot (2x+1)} = \frac{5x}{2x+1} \)

1. Brüche vereinfachen: In diesem Fall können wir den Bruch auf der rechten Seite kürzen, indem wir bemerken, dass der Nenner \((2x+1)\) auf beiden Seiten der Gleichung vorhanden ist. Wir können daher beide Seiten der Gleichung mit \((2x+1)\) multiplizieren, um es zu kürzen:

\( \frac{10x}{3x+4} = 5x \)

2. Umstellen und lösen: Wir multiplizieren beide Seiten mit \((3x+4)\), um den Bruch zu eliminieren:

\( 10x = 5x(3x + 4) \)

Wenn wir das ausmultiplizieren, erhalten wir:

\( 10x = 15x^2 + 20x \)

3. Quadratische Gleichung aufstellen: Nach Umstellung erhalten wir:

\( 15x^2 + 10x - 10x = 0 \)

Dies vereinfacht sich zu:

\( 15x^2 = 0 \)

4. Lösen für \(x\): Diese Gleichung sagt uns, dass \(15x^2 = 0\). Das bedeutet, dass \(x^2 = 0\), und daher:

\( x = 0 \)

Für die zweite Gleichung ist die einzige Lösung \(x = 0\).