Zu a)
Um Schreibarbeit zu sparen setze ich erst einmal \(\boxed{d_k := |x_{k}-\hat x|}\).
Nun fassen wir kurz zusammen, was gegeben ist:
Ein Iterationsverfahren liefert uns für einen beliebigen Startwert \(x_0 \in [0,\frac 14]\) eine Folge \(x_{k}\) mit $$d_{k+1} \leq 3 d_{k}^2 \quad \text{für } k = 0,1,2,\ldots \quad (1)$$
Außerdem wissen wir \(\boxed{d_0 < \frac 14}\).
So erhalten wir
$$d_2 \leq 3d_1^2 \leq 3\left(3d_0^2\right)^2 \leq 3^3d_0^4$$$$d_3 \leq 3d_2^2 \stackrel{d_2 \leq 3^3d_0^4}{\leq}3^7d_0^8$$
Das legt nahe, dass gilt $$\boxed{d_k \leq 3^{2^k-1}d_0^{2^k} \stackrel{d_0 < \frac 14}{<}\frac 13 \left(\frac 34\right)^{2^k}\quad (2)}$$.
Das kannst du fix per Induktion bestätigen.
Jetzt wollen wir nur noch wissen, ab wann sicher \(d_k \leq \epsilon\) gilt:
$$\frac 13 \left(\frac 34\right)^{2^k} \stackrel{!}{\leq}\epsilon$$
Auflösen nach \(k\) gibt $$k \geq \frac 1{\log 2}\log \left(\frac{\log(3\epsilon)}{\log \frac 34}\right)$$
Zu b)
Schau erst noch einmal nach, ob das die vollständige Aufgabe ist, denn bei i) und ii) spielt es überhaupt keine Rolle, dass f dreimal stetig differenzierbar ist.
Nachtrag zu b) ii)
Es ist \(\Phi(x) = x-\frac{f(x)}{f'(x)+f(x)}\)
Weiterhin gilt
\(f'(\hat x) + f(\hat x) = f'(\hat x) \neq 0\).
Da \(f'(x) + f(x)\) stetig ist, gibt es ein \( I_{\delta} = (\hat{x}-\delta, \hat{x}+\delta) \), so dass \(f'(x) + f(x) \neq 0\) auf ganz \( I_{\delta} \) gilt. Somit ist \(\Phi\) auf ganz \( I_{\delta} \) definiert.
