Funktionen und Gleichungen lösen - Problematik

Question

Aufgabe:

Hallo, ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten.

Könnten Sie mir bitte zeigen, wie ich die Gleichung "100 = 0,0056x^4-0,2x³+2,4x²" lösen kann?

Vielen Dank.

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits mit meinem Taschenrechner die Lösungen herausgefunden - x^1 = -5,26453 ; x² = 10,3879.

Jedoch bin ich mir nicht sicher, ob der GTR als "Lösung" zählt - beziehungsweise, wie kann ich es dann in Klausuren begründen?

Answer 1

Standardlösungsverfahren gibt es für lineare Gleichungen ax+b=0, für quadratische Gleichungen ax²+bx+c=0 und (nicht im Gymnasium) für kubische Gleichungen: ax³+bx²+cx+d=0. Für Gleichungen mit höheren Potenzen gibt es nur in Spezialfällen Standardlösungsverfahren. Sonst werden Näherungsverfahren zur Lösung verwendet (z.B. Newton, Regula falsi, digitales Werkzeug).

Comments

Heißt - sofern ich das richtig verstanden habe -, dass der GTR als "Beweis" zählen müsste?

Zumindest sind uns weitere Verfahren - wie beispielsweise das Newtonverfahren - nicht bekannt.

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Auch für Gleichungen vierten Grades gibt es allgemeine Lösungsformeln.

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Das Gewinnen eines Ergebnisses mittels GTR zählt nicht als mathematischer Beweis. Aber, wenn in der Schule Näherungsverfahren wie Newton nicht behandelt werden, muss man zum GTR greifen, um überhaupt eine ungefähre Lösung angeben zu können.

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Okay, danke.

Wahrscheinlich - sofern wir bald Unterricht haben - wird uns diese Herangehensweise erklärt.

Wie sähe das Newtonverfahren denn bei der oben genannten Funktion aus - laut Videos soll ich nach einem erkennbaren Vorzeichenwechsel Ausschau halten.

Jedoch ist die Funktion von f(x) = 0,0056x^4 - 0,2x³ + 2,4x² "dauerhaft" nach oben geöffnet - folglich sind die Y-Werte immer positiv.

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Das Newton-Verfahren ist nicht ganz so einfach
und kann nicht an einem Beispiel erklärt
werden.
Außerdem gäbe es " zu Fuß " viel zu rechnen.

Wenn euch das Newton- Verfahren noch
nicht beigebracht wurde braucht die Aufgabe
auch nicht danach gelöst werden.

Ich würde vorerst keine weitere Energie in die
Aufgabe unvestieren.

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Was für ein GTR wird denn eingesetzt?

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Jedoch ist die Funktion von f(x) = 0,0056x⁴ - 0,2x³ + 2,4x² "dauerhaft" nach oben geöffnet - folglich sind die Y-Werte immer positiv.

Ja, aber die Frage ist ja, an welcher Stelle x einer dieser Werte = 100 wird. Besser ist, du suchst nach den Nullstellen der Funktion g(x)=0,0056x⁴ - 0,2x³ + 2,4x² -100. Das sind die Stellen: x₁ = -5,26453 ; x₂ = 10,3879, die du bereits gefunden hattest. Der erste Schritt im Newton-Verfahren wäre hier, eine Tangente im Punkt (10|g(10)) zu bestimmen und deren Nullstelle zu finden. diese Nullstelle liegt bereits sehr dicht an x₂ = 10,3879.