Konvergenz berechnen von einer Reihe

Question

Hallo diese Frage interessiert mich

$$ \sum _{n=1}^{\infty}{\frac { n^2 }{ 2^n }} $$

Ich weeeeiß ja das hat nix mit Schulmathe zutun, aber das interessiert mich mal. Wie schwer kann es denn sein diese Reihe auf Konvergenz zu überprüfen?

Ich würde hier das Quotientenkriterium anwende, oder?

Answer 1

Wurzelkriterium geh auch problemlos.

Was kriegst du denn beim Quotientenkriterium raus?

Gruß

Comments

Ahso :)

Ich hab das noch nicht berechnet...wollte fragen ob du mi das mal zeigen kannst......also ich komme nur bisschen weiter :( eigentlich weiß ich was man tun muss aber ab einem schritt komme ich nicht weter

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Schreib doch den Schritt mal auf :)

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Ok einen Moment :)

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$$ \sum _{n=1}^{\infty}{\frac { n^2 }{ 2^n }} $$
$$ \lim_{n\to\infty}\frac { { a }_{ n+1 } }{ a_n }=\lim_{n\to\infty} \frac { { (n+1) }^{ 2 } }{ { 2 }^{ n+1 } }$$

ich weiß net wie man nen doppelbruch eingibt ...bin soweit gekommen

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Am besten schreibst du es so auf, dass du mit dem Kehrwert multiplizierst
$$ \lim \limits_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n^2} $$Kürzen und Grenzwert berechnen müsstest du schaffen :)

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Ja kürzen und Grenzwert berechnen schaffe ich :)

Answer 2

geht so:

a_n+1 /  a_n  = ( (n+1)/2ⁿ⁺¹  )   / ( n/2^n )  =    (    ( n+1)*2^n )   /   ( 2ⁿ⁺¹ *n)  =  (n+1) / (2n) <= 5/8
für n>4

und wenn der Quotient a_n+1 /  a_n  kleiner oder gleich einem q mit q<1 von einem gewissen n an ist,
dann konvergiert die Reihe.

Comments

Hallo mathef :)

Danke für deine Antwort :)

aber soweit ich sehe hab ich nen Fehler gemacht oder? (siehe unter Yakyus antwort) also bin  nur soweit gekommen