Bestimmen einer basis eines untervektorraum Span(v1,v2,v3,v4)

Question

Ich habe eine verständnisfrage?

Wenn 4 vektoren v₁,v_2,v_3,v₄ grgenen sind wie kann man eine basis des unterraums im span (v1,...,v4) geben?

Und was muss ich beachten wenn es in einem ℚ⁴,ℝ⁴ oder

ℂ⁴ Vektorraum ist?

Answer 1

Du musst erst mal schauen, ob die 4 linear unabhängig sind,
dann würden sie eine Basis bilden

Sind sie es nicht kannst du einen als Lin.komb. der übrigen drei
darstellen. Diesen kannst du also weglassen ohne dass sich der Spann
verkleinert.

Dann schaust du ob die übrigen drei lin. unabh. sind. Wenn ja bilden sie eine Basis
wenn nicht kannst du einen von ihnen las Lin.komb der übrigen .... etc.

Comments

Muss ich dann auch zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist?

Denn damit es eine Basis wird muss es doch zwei Eigenschaften haben:

1) Lineare unabhängigkeit

2) Erzeugendensystem ?

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Ne, wenn du einen weglässt, der durch die anderen dargestellt wird, hast du immer noch ein Erz.syst.

zum Beispiel hast du v1, v2 und v3  und weisst etwa   v3 = 2*v1 + 3*v2

Dann kannst du mit den dreien alles "erzeugen" was so aussieht

a*v1 +b*v2 +c*v3

wenn du dort jetzt v3 = 2*v1 + 3*v2 einsetzt, hast du

a*v1 +b*v2 +c*(2*v1 + 3*v2) und siehst:

Du kannst immer noch alles mit v1 und v2 erzeugen.

Deshalb ist es wichtig, dass man nur einen weglässt, der auch

wirklich von den restlichen dargestellt werden kann.

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Also gegeben sind die vektoren v1= (1,1,7,-1) v2= (1,2,0,4) v3=(1,-4,42, -26) v4=(2,1,21,-7)

Also ich habe raus das meine vektoren v1,..,v4 linear unabhängig sind als ergebnis habe ich die matrix ( eine Frage nebenbei, soll ich die vektoren v1,...,v4 als zeile schreiben oder normal in spalten? Also so

1 1 1 2

1 2 -4 1

7 0 42 21

-1 4 -26 -7

Oder so

1 1 7 -1

1 2 0 4

1 -4 42 -26

2 1 21 -7

Also ich habe es mit ersten variante untersucht und bekam:

1 1 1 2

0 1 (-5) (-1)

0 0 0 0

0 0 0 0

Wie kann ich die als basis darstellen? Muss ich auch den zeilenraum bestimmen.

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Also gegeben sind die vektoren v1= (1,1,7,-1) v2= (1,2,0,4) v3=(1,-4,42, -26) v4=(2,1,21,-7)

Also ich habe raus das meine vektoren v1,..,v4 linear unabhängig sind als ergebnis habe ich die matrix ( eine Frage nebenbei, soll ich die vektoren v1,...,v4 als zeile schreiben oder normal in spalten?
Natürlich als Spalten !

1 1 1 2

0 1 (-5) (-1)

0 0 0 0

0 0 0 0

Wie kann ich die als basis darstellen?
Du siehst schon mal  dim=2.

Dazu musst du 2 finden, die du weglassen kannst
Das kannst du an der umgeformten Matrix sehen.
z.B für x3=1 und x4=1 bekommst du ja die Lösung
-3  6   1   1   also ist 1*v4 = 3v1 - 6v2 - v3
also kannst du v4 weglassen.

und ähnlich
-6 5  1  0    also   v3 = 6v1 - 5v2

also kannst du den v3 auch noch weglassen
Basis ist v1 v2

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Müsste eig um v4 zu ersetzen -3 1 0 1 sein statt -3 6  1 1 sein?

Weil wenn ich das einsetze, mit deinen gegebenen werte bekomme ich nivht gleich v4

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kann sein, dass ich mich da vertan hab.