Geben Sie die Matrix einer Drehung im Raum um 90° um die x_{1}-Achse an.

Question

Aufgabe (Welche Abbildung steckt dahinter?):

a) Im Raum ist eine Abbildung mit der Matrix \( M \) angegeben: \( M=\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Erklären Sie die „Natur" der Abbildung anhand der Bilder der Basisvektoren.

b) Geben Sie die Matrix einer Drehung im Raum um \( 90^{\circ} \) um die \( \mathrm{x}_{1} \)-Achse und einer Drehung um \( 90^{\circ} \) um die \( \mathrm{x}_{2} \)-Achse an.

Answer 1

Weisst du denn wie die Drehmatrizen für Drehungen um die Achsen im Allgemeinen aussehen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Drehmatrix#Drehmatrizen_des_Raumes_R.C2.B3

sinA= 0 und cosA = 1 ==> A = 90°. Die Matrix in a) stimmt: Drehachse ist z-Achse.

b) Analog 0 und 1 verteilen: Vgl. Link oben

Comments

Nein wir arbeiten nicht mit sin und cos. Diese Matrix haben wir Beispielsweise benutzt Für die drehung 0 -1 zeile 1 und 1 0 zeile 2 . Das ist eine drehung um 90 grad

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In den Spalten einer Drehmatrix stehen die Bildvektoren der Basisvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).

Damit kannst du dir das auch geometrisch vorstellen.

Einer dieser Vektoren bleibt fix. Die andern ändern sich. Mehr als ±1 und 0 kann dann nicht vorkommen.

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Bescvreiben die Basisvektoren nicht eine Spiegelung?

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Mit den Bildern der Basisvektoren kannst du viel mehr als nur Spiegelungen als Matrizen darstellen.

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Woher weiss ich denn ob es eine drehung oder spiegelung ist? Also wie sehen die jeweiligen vektoren dazu aus?

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Schau am besten nochmals meinen Link an und vergleiche mit der Beschreibung von Spiegelungsmatrizen.

Sprache lässt sich auf Englisch umstellen: https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Common_rotations

Die Determinante einer Spiegelung ist z.B. -1 und die einer Drehung + 1.

Ansonsten wie beschrieben überlegen, was mit den erwähnten Punkten geschieht. Du kannst z.B. ein Fenster 90° öffnen (das ist eine Drehung um die z-Achse).

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Ja genau das meinte ich. Ich habe es mit dem einsetzen auch verstanden nur ich verstehe niht woher ich dnn weiss welche der Berührpunkt und welches der Schnittpunkt ist? Also ich dachte jtzt 2. und -1 sind beides Berühpunktr aber -1 ist ja der schnittpunkt. Wie unterscheide ich das?

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Berührpunkte und Schnittpunkte gehören zur Kurvendiskussion und nicht zu einer Drehmatrix.