Unabhängige und erzeugende Teilsysteme

Question

Sei V ein Vektorraum und vi i I ein System von Vektoren in V. Zeigen Sie:

a) Wenn J ⊂ I und (v_i )_i∈I  linear unabhängig, so ist  (v_j)_{j ∈J} linear unabhängig.

b) Wenn J ⊂ I und (v_j )_j∈I ein Erzeugendensystem ist, so ist (v_i )_i∈Iein Erzeugendensystem.

Answer 1

Sei V ein Vektorraum und vi i I ein System von Vektoren in V. Zeigen Sie:

a) Wenn J ⊂ I und (v_i )_i∈I  linear unabhängig, so ist  (v_j)_{j ∈J} linear unabhängig.

zu zeigen ist:   Jede Linearkombination des Nullvektors mit dem System   (v_j)_{j ∈J}

ist eine, deren Koeffizienten alle Null sind.

Da dies bei dem System (v_i )_i∈I  so ist und jede Linearkombination des

Nullvektors mit dem System   (v_j)_{j ∈J} zu einer     Linearkombination des
Nullvektors mit dem System   (v_i)_{i ∈I} ergänzt werden kann, ist es so.

b) Wenn J ⊂ I und (v_j )_j∈I ein Erzeugendensystem ist, so ist (v_i )_i∈Iein Erzeugendensystem.

wenn ich jeden Vektor aus V durch die vj darstellen kann, nehme ich für alle dabei noch nicht

verwendeten vi den Summanden 0*vi dazu und habe eine Darstellung mittels vi, also

bilden die auch ein Erz.syst.