Rekursive Bildung einer Eisblume. Umfang? Flächeninhalt?

Question

Hier wieder eine Aufgabe für euch:

Die ist etwas schwerer, da finde ich gar keinen Ansatz...

Auf einem winterlichen Fenster wächst eine Eisblume nach folgendem rekursivem Bildungsgesetz:

Ausgangsfigur ist ein gleichseitiges Dreieck T₀ mit der Seitenlänge 1. Die Berandung

T_n nach dem n-ten Zeitschritt entsteht aus T_n-1, indem auf dem mittleren Drittel einer

jeden geradlinigen Berandungsstrecke von T_n-1 ein gleichseitiges Dreieck aufgesetzt wird.

Berechne den Umfang U_n und den Flächeninhalt F_n der Figur T_n sowie lim_n→∞U_n und limn→∞F_n

Comments

Illustration: Hier https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

Passt sie zu deiner Fragestellung?

Benutze dort auch den Sprachwechsel und die Links dann findest du selbst mehr, wenn du mit den Bildern nicht schon selbst zur Lösung kommst.

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Hallo Lu. Warum schreibst du das nicht als Antwort. Über den Link ist die Frage doch beantwortet. Insbesondere wenn man noch an den Sprachwechsel denkt, den du erwähnst.

Answer 1

Bezüglich des Umfangs. Bei jedem Teilungsschritt
erhöht sich die Länge einer Seite auf 4 / 3  der Länge.

U ( n ) = 3 * ( 4/3)^n


lim n -> ∞ [ 3 * ( 4/3)^n ] = ∞

Hinzukommende Fläche bezogen auf die Seitenlänge l
l = Länge
h = √ ( l^2 - (l/2)^2  ) = √ ( 3 / 4 * l^2  )
A = l * h / 2 = l * l / 2 * √ ( 3 / 4 )
A = l^2 * √ (3 ) / 4

Ausgangsfläche
l = 1 : F ( 0 ) = l^2 * √ ( 3 ) / 4  = 0.433

1.Teilung
l = 1/3 : A = (1/3)^2 * √ ( 3 ) / 4
Für 3 Seiten ; 3 * A
3 * (1/3)^2 * √ ( 3 ) / 4
1 / 3 * √ ( 3 ) / 4  = 0.144
F ( 1 ) = F ( 0 ) + 0.144 =  0.433 + 0,144 = 0.577

2.Teilung ( es sind jetzt 3 * 4 = 12 Seiten vorhanden )
l = 1/12 : A = (1/12)^2 * √ ( 3 ) 4
Für 12 Seiten ; 12 * A
12 * (1/12)^2 * √ ( 3 ) / 4
1 / 12 * √ ( 3 ) / 4  = 0.036
F ( 2 ) = F ( 1 ) + 0.036 = 0.577 + 0.036 = 0.613

So. Vorerst keine Lust mehr.

Jetzt gilt es die Formel herzuleiten.

mfg Georg

Comments

Wow, vielen Dank für deine Mühe! Bin damit zu einer Lösung gekommen :)

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Schön das ich dir weiterhelfen konnte.

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Wie kommst du genau auf h = √ ( l^2 - (l/2)^2  ) = √ ( 3 / 4 * l^2  ) ?

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Hypotenuse = l = 1/3
Kathete = l/2 = 1/ 6
h = die andere Kathete
Pythagoras
l ^2 = (l/2)^2 + h^2

Ganz ausführlich
h^2 =  l^2 - ( l / 2 ) ^2
h^2 =  l^2 - l ^2 / 4
h^2 =  4 * l^2 / 4 - 1 * l ^2 / 4
h^2 =  ( 4 - 1 ) * l^2 / 4
h^2 =  3 * l^2 / 4
h =  √ ( 3 / 4 * l^2 )

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wird von einer Eisblume mit 3 Dreiecken ausgegangen?

u_0 = 3*a_0

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Mein Bild zur Schneeflocke findest du oben
in meiner Antwort.

Weitere Bilder und Animationen unter

https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

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Müssten bei der dritten Teilung dann nicht 48 Seiten sein?

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Im Link above ist auch das Bildungsgesetz
vorhanden

Anzahl der Seiten = 3 * 4^n
n = Anzahl der Teiliungsschritte

3 * 4^0 = 3 Seiten
3 * 4^1 =  12 Seiten
3 * 4^2 =
usw

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Welche Formel soll man denn da herleiten?

Meinst du so ? 1/(3*4^n)^n ?

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Im Abschnitt
Perimeter of the Koch snowflake
heißt es
N ( n ) = 3 * 4^n

Angefangen wird mit 3 Strecken
Aus jede Strecke werden pro
Teilungsschritt 4 Strecken.

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Müsste das bei der 2 Teilung nicht heißen: 4*3*(1/9)² *√ ( 3 ) 4

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Wie du auf die wilde Formel gekommen
bist weiß ich nicht. Ich werde dies auch nicht
weiter nachverfolgen.
Die richtige Formel steht oben und ist
auch liecht nachzuvollziehen.
Bitte informiere dich im Internet weiter.