$$E \subset \mathbb{R}^d$$ ist Lebesgue messbar und sei $$\phi (t)=m \left( \Pi_{i=1}^{d} (-\infty , t_i ) \cap E \right)$$ Um zu zeigen dass φ Lipschitz ist, habe ich folgendes gemacht:
Sei x>y.
$$|\phi(x) - \phi(y)|=|m \left( \Pi_{i=1}^{d} (-\infty , x_i ) \cap E \right)-m \left( \Pi_{i=1}^{d} (-\infty , y_i ) \cap E \right)|=|m \left [ \left( \Pi_{i=1}^{d} (-\infty , x_i ) \cap E \right) \setminus \left( (-\infty , y_i ) \cap E \right) \right ]| \leq m \left( \Pi_{i=1}^{d} [y_{i}, x_{i} ] \right)=\Pi_{i=1}^{d} [y_{i}, x_{i}]$$
Ist es richtig?
