Lipschitz Stetigkeit zeigen

Question

Aufgabe:

Ich stecke gerade in einem Beweis und mir fehlt nur noch die Lipschitz-Stetigkeit von folgendem:
f(x) = (x/(1+||x||²)^1/2) für x∈ℝ^d und eine beliebige Norm ||•|| auf ℝ^d.
Wenn mir jemand mit ||x/(1+||x||²)^1/2 - (y/(1+||y||²)^1/2)|| ≤ L ||x-y|| weiterhelfen könnte wäre das super. Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Hallo,

ich verwende die Abkürzung \(s:=\|x\|, t:=\|y\|\)

$$\|\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}x-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}y\| $$

$$\leq \|\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}(x-y)\| + |\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}|\|y\|$$

Den ersten Summanden schätzen wir mit \(\|x-y\|\) ab. Zum zweiten

$$|\frac{1}{\sqrt{1+s^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}|t=t\left| \frac{\sqrt{1+t^2}-\sqrt{1+s^2}}{\sqrt{1+t^2}\sqrt{1+s^2}}\right|$$

$$=t\left| \frac{t^2-s^2}{\sqrt{1+t^2}\sqrt{1+s^2}(\sqrt{1+t^2}+\sqrt{1+s^2})}\right| \leq |t-s|$$

Für die letzte Ungleichung beachten wir die 3. binomische Formel und die Abschätzung \(|t| \leq \sqrt{1+t^2}\). Schließlich benutzen wir die "Dreiecksungleichung nach unten":

$$|s-t|=| \|x\|-\|y\|| \leq \|x-y\|$$

Insgesamt hätten wir dann L=2.

Gruß pwm