Stetigkeit, gleichmäßige und Lipschitz-Stetigkeit
a) Untersuchen Sie folgende Funktionen auf Stetigkeit, gleichmäßige und Lipschitz-Stetigkeit:
$$\begin{aligned} \text { (i) } f ( x ) = x ^ { 2 } \text { mit } f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \\ \text { (ii) } g ( x ) = x ^ { 2 } \text { mit } g : [ 0,1 ] \rightarrow \mathbb { R } \\ \text { (iii) } h ( x ) = m \cdot x + b \text { mit } m , b \in \mathbb { R } \end{aligned}$$
Hinweis: Benutzen Sie die ε - δ - Definition der Stetigkeit nur in Teil (i), argumentieren Sie in den anderen beiden Fällen geschickter.
b) Benutzen Sie den Zwischenwertsatz, um zu zeigen, dass k(x)=mx²+b immer mindestens eine Nullstelle besitzt, wenn m<0 und b>0.
