Lipschitz-Stetigkeit mittels der Definition untersuchen.

Question

Aufgabe:

Lipschitz-Stetigkeit mittels der Definition untersuchen.

f:(0,∞) → ℝ, x ↦ x^3

Problem/Ansatz:

Ich würde das mit einem Beweis mit Widerspruch machen, jedoch komm ich nicht genau darauf, bzw. verstehe ich die Schritte nicht.

Bitte um Hilfe. :)

Answer 1

$$\frac{|x^3-y^3|}{|x-y|}=|x^2+xy+y^2|$$ ist unbeschränkt.

Answer 2

Widerspruchsbeweis klingt gut.

Wir nehmen also an, es gäbe ein \(C\in\mathbb R\) mit

\(|f(y)-f(x)| \leq C|y-x|\) für alle \(x,y\in \mathbb R\).

Eine Möglichkeit, nun einen Widerpsruch zu produzieren, ist, den Mittelwertsatz zu benutzen:

\(f'(x) = 3x^2\). Für \(x=n\in\mathbb N\) und \(y \geq x+1\) gilt nun

\(|f(y)-f(x)| = |f'(\xi)||y-x| \geq 3n^2\)

Das heißt, \(C \geq 3n^2\) für jedes \(n\in\mathbb N\).
Ein solches reelles \(C\) gibt es nicht. Widerspruch zur Annahme!