Aufgabe:
f(x) : ={sinx, falls x<0,e−xcosx−12, falls x≥0 f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \sin x, & \text { falls } x<0, \\ e^{-x} \cos x-\frac{1}{2}, & \text { falls } x \geq 0 \end{array}\right. f(x) : ={sinx,e−xcosx−21, falls x<0, falls x≥0
Berechnen Sie: limx→∞f(x)\lim\limits_{x\to\infty}f(x)x→∞limf(x)
Problem/Ansatz:Wie gehe ich hier vor?
Aloha :)
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, gilt folgende Abschätzung:∣cosx∣≤1 ⟹ e−x∣cosx∣≤e−x ⟹ ∣e−xcosx∣≤e−x=1ex →(x→∞) 0\left|\cos x\right|\le1\implies e^{-x}|\cos x|\le e^{-x}\implies\left|e^{-x}\cos x\right|\le e^{-x}=\frac{1}{e^x}\;\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\;0∣cosx∣≤1⟹e−x∣cosx∣≤e−x⟹∣∣∣e−xcosx∣∣∣≤e−x=ex1→(x→∞)0Damit ist der gesuchte Grenzwert:limx→∞f(x)=limx→∞(e−xcosx−12)=limx→∞(e−xcosx)−12=0−12=−12\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{-x}\cos x-\frac12\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{-x}\cos x\right)-\frac12=0-\frac12=-\frac12x→∞limf(x)=x→∞lim(e−xcosx−21)=x→∞lim(e−xcosx)−21=0−21=−21
Da x→∞ gehen soll ist nur f(x)=e-x·cos(x) - 1/2 zu betrachten. Ich vermute, hier fehlen Klammern. Wenn nicht, ist der Grenzwert -1/2. Der Minuend geht wegen e-x gegen 0.
Was verstehst du denn nicht? Du tust quasi so, als wenn du eine unendlich große Zahl einsetzt und schaust, was als Funktionswert herauskommt.
https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Limit%5BPower%5Be%2C-x…
limx→∞(e−xcos(x)−12)=−12 \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(e^{-x} \cos (x)-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2} x→∞lim(e−xcos(x)−21)=−21
Hallo
du betrachtest nur den Teil für x>0 und |cosx|<=1
Gruß lul
limx→∞f(x)e−x∗cos(x)−0,5\lim\limits_{x\to\infty}f(x)e^{-x}*cos(x)-0,5x→∞limf(x)e−x∗cos(x)−0,5
limx→∞f(x)cos(x)ex−0,5=−0,5\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\frac{cos(x)}{e^{x}}-0,5=-0,5x→∞limf(x)excos(x)−0,5=−0,5
x→∞ gehen soll ist nur f(x)=e-^(x) * cos(x) - 1/2e^(-x) geht gegen nullcos(x) ist unbestimmt liegt aber zwischen -1 bis 1e^(-x) * ·cos(x) geht gegen 0bleibt --1/2
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