Berrechnen sie limes f(x)

Question

Aufgabe:

\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \sin x, & \text { falls } x<0, \\ e^{-x} \cos x-\frac{1}{2}, & \text { falls } x \geq 0 \end{array}\right. \)

Berechnen Sie: \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\)

Problem/Ansatz:
Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, gilt folgende Abschätzung:$$\left|\cos x\right|\le1\implies e^{-x}|\cos x|\le e^{-x}\implies\left|e^{-x}\cos x\right|\le e^{-x}=\frac{1}{e^x}\;\stackrel{(x\to\infty)}{\to}\;0$$Damit ist der gesuchte Grenzwert:$$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{-x}\cos x-\frac12\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(e^{-x}\cos x\right)-\frac12=0-\frac12=-\frac12$$

Answer 2

Da x→∞ gehen soll ist nur f(x)=e^-x·cos(x) - 1/2 zu betrachten. Ich vermute, hier fehlen Klammern. Wenn nicht, ist der Grenzwert -1/2. Der Minuend geht wegen e^-x gegen 0.

Answer 3

Was verstehst du denn nicht? Du tust quasi so, als wenn du eine unendlich große Zahl einsetzt und schaust, was als Funktionswert herauskommt.

https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Limit%5BPower%5Be%2C-x%5D*cos%5C%2840%29x%5C%2841%29-Divide%5B1%2C2%5D%2Cx-%3E%E2%88%9E%5D

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(e^{-x} \cos (x)-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2} \)

Answer 4

Hallo

du betrachtest nur den Teil für x>0  und |cosx|<=1

Gruß lul

Answer 5

\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)e^{-x}*cos(x)-0,5\)

\(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\frac{cos(x)}{e^{x}}-0,5=-0,5\)

Answer 6

x→∞ gehen soll ist nur f(x)=e-^(x) * cos(x) - 1/2
e^(-x) geht gegen null
cos(x) ist unbestimmt liegt aber zwischen -1 bis 1
e^(-x) * ·cos(x) geht gegen 0
bleibt --1/2