Wie bestimme ich den limes von f(x) = x*sin(x)/(1 - cos(x))?

Question

Hallo liebe Community!

Ich bereite mich grade auf eine Prüfung vor, und stolpere grade bei aufgaben, bei denen man den Limes bestimmen soll.

Die Aufgabe lautet:

$$ \lim _{ x\rightarrow 0 }{  \frac { x\cdot sin(x) }{ 1-cos(x) } }  $$

Nun weiß ich nicht, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Meine bisherige Vorgehensweise hat mir das Ergebnis f(x) -> 0 geliefert, jedoch zweifle ich an dessen richtigkeit.

Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet.

Answer 1

 die Aufgabe lässt sich auch mit Taylorentwicklung von sin(x) und COS(x) lösen:

für x nahe 0 gilt: sin(x)≈x und COS(x)≈1-x^2/2

Eingesetzt ergibt sich 

lim x--> 0 f(x)=lim x--> 0 x^2/(x^2/2)=lim x-->0   2=2

Answer 2

Darfst du Hospital verwenden? 

Wenn ja, probier das mal.

Mach es, wenn erlaubt und nötig, zwei mal. 

EDIT Zum Vergleich: Ich komme auf den Grenzwert 2. 

Answer 3

Wenn Du L' Hospital benutzen darfst, leite das Ganze(Zähler und Nenner  getrennt) 2 mal ab .

Lösung: 2

Answer 4

wenn sich bei der Grenzwertberechnung eines Bruchs   f(x) / g(x)  beim Einsetzen von x₀ "±∞/∞" oder "0/0" ergibt, kann man mit l'Hospital arbeiten: 

  lim_x→xo [ f(x) / g(x) ] =  lim_x→xo [ f '(x) / g '(x) ]

Hier:  

lim_x→0 [ x·SIN(x) / (1 - COS(x)) ]        [ = " 0 / 0 " ] 

= lim_x→0 [ ( x·COS(x) + SIN(x) ) / sin(x) ]     [ = " 0 / 0 " ] 

= lim_x→0  [ ( 2·COS(x) - x·SIN(x) ) / cos(x) ] = 2

Gruß Wolfgang