Schnittmultiplizität der Kurven

Question

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Berechnen Sie die Schnittmultiplizität der Kurven $$f(x,y)=x^5+x^4+y^2$$ und $$g(x,y)=x^6-x^5+y^2$$ im Punkt $$P=(0,0)$$

Um die Schnittmultiplizität der Kurven zu finden, muss man nicht prüfen ob die Kurven eine gemeinsame Tangente haben?

Wie kann man aber die Tangente der zwei Kurven finden?

Ich habe gefunden dass f und g eine gemeinsame Tangente haben, die y=0.

Also, I(P, f ∩ g) > m_P(f) * m_P(g)=4

f(x, 0)=x⁵+x^4 ⇒  s=deg f(x, 0)=5

g(x, 0)=x⁶-x⁵ ⇒ r =deg g(x, 0)=6

s ≤ r

Also, h(x, y)=g(x, y)-x f(x, y)

h(x, y)=x⁶-x⁵+y²-x(x⁵+x⁴+y²)=x⁶-x⁵+y²-x⁶-x⁵-xy² ⇒ h(x, y)=-2x⁵+y²-xy²

deg h(x, 0)=s<r

Wie kann man weiter machen?

Comments

Um die Schnittmultiplizität der Kurven zu finden, muss man nicht prüfen ob die Kurven eine gemeinsame Tangente haben? 

Warum hast du in diesem Satz ein 'nicht' ?

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Ich meine, dass man es so machen muss und wollte wissen ob es wirklich so ist.

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http://de.wikiversity.org/wiki/Ebene_algebraische_Kurven/Schnittmultiplizität/Lokale_Beschreibung/Einführung/Textabschnitt

verstehe ich so, dass die Multiplizität einer Schnittstelle 1 ist, wenn der Schnittwinkel nicht 0 ist.

Und dann vermute ich, dass gezählt wird wie bei der Vielfachheit von Nullstellen, wo sich y= f(x) und y = g(x): = 0  schneiden.

Nun hast du aber Funktionen RxR --> R. Das wären dann eher Tangentialebenen zu vergleichen.

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Die Frage hast du doch bereits gestellt, hier und auch anderswo und bereits Antworten bekommen.

"Ich habe gefunden dass f und g eine gemeinsame Tangente haben, die y=0."

Nein, das haben andere für dich gemacht.

Answer 1

Zerlege F in homogene Komponenten:
\(F=F_m+F_{m+1} + \ldots F_d \) . m bezeichnen wir dann als Multiplizität im Nullpunkt.
Die Tangenten im Nullpunkt sind die linearen Faktoren von \( F_m\).
d.h. hier jeweils y.
Damit kannst du nicht Punkt 5 hieraus
https://de.wikipedia.org/wiki/Schnittzahl_%28Algebraische_Geometrie%29
(oder der Originalquelle, dem Fulton) direkt verwenden.
Mit den dortigen Rechenregeln ergibt sich:

(ich spar mir (0,0) in der Rechnung)

$$ I(f,g)=I(x^5+x^4+y^2,x^6-2x^5-x^4) =2 \cdot 4$$

da y und x verschiedene Tangenten sind.

Comments

Sucht man also die Nullstellen von F_m  und die sind dann die Tangenten von F? Oder habe ich es falsch verstanden?

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Du hast es falsch verstanden -ich hab auch nie von Nullstellen gesprochen also keine Ahnung wo du das rausliest.

Polynome in zwei Variablen über unendlichen Körpern haben übrigens unendlich viele Nullstellen.

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Ok, entschuldingung. Könntest du mir dann diesen Satz erklären?

Die Tangenten im Nullpunkt sind die linearen Faktoren von F_{m .}

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Das ist normelerweiese die Definition des Begriffs. Ich weiß nicht was ich da erklären soll.

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Wenn wir zum Beispiel g₃(x,y)=-y³+3x²y hätten, wie würde man die Tangente finden?

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Einen Linearfaktor seh ich mit bloßem Auge....

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Also, muss man es dann so machen?

g₃(x)=-y³+3x²y=y(-y²+3x²)

Also, ist die Tangente y=0.

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Wie wär's denn damit ins Skript zu schauen, da steht doch genau diese Aufgabe drin:

http://math.stackexchange.com/questions/1052007/do-they-intersect-transversally

Ganz ehrlich: "Check with your teacher." ist ein sehr sinnvoller Rat.

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Also um die Tangenten zu finden muss man die Gleichungen y=0 und -y²+3x²=0 lösen?

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Nein. Die zweite Gleichung hätte auch - wie oben bereits gesagt - unendlich viele Lösungen.
Du musst ein Polynom faktorisieren. Und wenn du in einer so fortgeschrittenen Vorlesung sitzt, wie du es scheinbar tust, und solch grundlegenden techniken nicht kannst oder nicht durch Recherche erlernen kannst, dann sitzt du in der falschen Vorlesung.
Bitte rede mit deinem Dozenten/Professor/Tutor.

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 f und g haben eine gemeinsame Tangente, die y=0. 

Also, I(P, f ∩ g)> m_P(f)* m_P(g)=4

f(x,0)=x⁵+x^4⇒ s=deg f(x,0)=5

g(x,0)=x⁶-x^5⇒ r=deg g(x,0)=6

s≤r

Also h(x,y)=g(x,y)-x f(x,y) 

h(x,y)=x⁶-x⁵+y²-x(x⁵+x⁴+y²)=x⁶-x⁵+y²-x⁶-x⁵-xy² ⇒  h(x,y)=-2x⁵+y²-xy² 


deg h(x,0)=s<r

Wie kann man weitermachen?

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Ich wüßte nicht was das mit der Fragestellung hier zu tun haben soll.

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Du hast mir nicht gesagt dass ich hier fragen sollte?

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Nein. Wo hätte ich das tun sollen?

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"Die Frage hast du doch bereits gestellt, hier und auch anderswo und bereits Antworten bekommen."


Nachfragen zu einer Aufgabe immer als Kommentar in die ursprüngliche Aufgabe schreiben.


Also sollte ich doch nicht hier fragen?

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Und?
"Ich wüßte nicht was das mit der Fragestellung hier zu tun haben soll. "
i.a.W.: Deine Rechnung hat keine für mich nachvollziehbare Beziehung zu der Aufgabe.
Bitte befolge diesen Rat:
"Bitte rede mit deinem Dozenten/Professor/Tutor. "

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Ich habe eine Frage..

Wir haben dass f(x,y)=x⁵+x⁴+y²

Wenn h(x,y)=-2x⁵+y⁵-xy², dann:

f(x,0)=x⁵+x^4 ⇒ deg f(x,0)=5=s

h(x,0)=-2x⁵ ⇒ deg h(x,0)=5=p

Kann man von f(x,0) und g(x,0) prüfen ob f und g eine gemeinsame Tangente haben?