Beweis einer Ungleichung für die rekursive Folge a_n mit a_1:= 1, a_n+1:= (1/1+a_n)

Question

$$Gegeben\quad sei\quad eine\quad rekursive\quad Folge\quad { (a }_{ n }{ ) }_{ n\in N }\quad mit\quad { a }_{ 1 }:=1\quad und\quad { a }_{ n+1 }:=\frac { 1 }{ 1+{ a }_{ n } } \\ i)\quad Zeigen\quad Sie\quad für\quad alle\quad n\in N,\quad n\ge 2\quad gilt:\\ |{ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }|\le \frac { 4 }{ 9 } |{ a }_{ n }-{ a }_{ n-1 }|$$

Mein Ansatz wäre mit dieser Umformung anzufangen (mit anschließender Induktion): $$|{ a }_{ n+1 }-{ a }_{ n }|=|\frac { 1 }{ 1+{ a }_{ n } } -\frac { 1 }{ 1+{ a }_{ n-1 } } |$$

Ich bekomme die Ungleichung dann allerdings nicht so umgestellt, dass sich daraus etwas brauchbares ergibt...

Answer 1

Ein einfacher Induktionsbeweis zeigt, dass \(a_n>0\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt. Es folgt \(a_n\leq1\) und daraus \(a_n\geq\frac12\). Es ist
$$\vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert=\left\vert\frac1{1+a_{n+1}}-\frac1{1+a_n}\right\vert=\left\vert\frac{a_{n+1}-a_n}{(1+a_{n+1})(1+a_n)}\right\vert$$Wegen \(1+a_n\geq\frac32\) ist dann$$\vert a_{n+2}-a_{n+1}\vert\leq\frac49\vert a_{n+1}-a_n\vert.$$

Comments

Manchmal frag ich mich echt, wieso ich alles verkomplizieren muss.. aber so macht das natürlich Sinn und man schreibt sich keinen Wolf mit zig Abschätzungen.

Answer 2

Kannst ja auch so anfangen

| a_n+1 - a_n | / | a_n - a_n-1| <= 4/9 
Dann musst du im Induktionsschritt zeigen:

| a_n+2 - a_n+1 | / | a_n+1 - a_n| <= 4/9 

Wenn du bei | a_n+2 - a_n+1 | / | a_n+1 - a_n| die

Rekursion einsetzt gibt das nachher

= (|1+a_n-1|) / |(1+a_n+1|) *  ( | a_n - a_n+1|/ | a_n-1 - a_n|)

und der zweite Faktor ist wegen der Ind.vor. <= 4/9, denn die

Reihenfolge in der Differenz ist ja wegen des Betrages unerheblich.

also hast du für das Ganze schon mal: kleiner oder gleich

(|1+a_n-1|) / |(1+a_n+1|) * (4/9)

Hier kann man ja bei a_n+1 nochmal die Rekursion verwenden

Das gibt dann nach Erweitern mit | (1+a_n)|

(   |(1+a_n)|*|1+a_n-1|   /    |1+|1+a_n||   )  * (4/9)

und jetzt müsste man irgendwie den Bruch vor den 4/9 so abschätzen, dass

er kleiner gleich 1 ist.

Vielleicht nochmal die Rekursion verwenden ?

(   |1+1/(1+a_n-1)|*|1+a_n-1|   /    |1+|1+1/(1+a_n-1||   )  * (4/9)

= (   |1+1/(1+a_n-1)|*|1+a_n-1|   /    |1+|1+1/(1+a_n-1||   )  * (4/9)

??????????????????

Comments

Erstmal danke für die Antwort!

Das ganze nach 4/9 umzustellen ist mir bei meinen Versuchen auch in den Sinn gekommen, allerdings hab ich keine vollständige Abschätzung der restlichen Terme auf die Reihe gekriegt.

Wenn ich mir aber so die Antwort von Gast hj198 ansehe, hab ichs mir eindeutig zu kompliziert gemacht.

Answer 3

Sorry da war ein Fehler drin, den ich erst noch korrigieren muss, deswegen habe ich die Antwort wieder gelöscht.