Gegeben ist eine Fläche Ω, die durch den abgebildeten Viertelkreis mit dem Radius 5 und den beiden Achsen begrenzt ist.

Question

Aufgabe (Einfachintegrale - Mehrfachintegrale):

Gegeben ist die Fläche \( \Omega \), die durch den abgebildeten Viertelkreis mit dem Radius 5 und den beiden Achsen begrenzt ist.

a) Durch welches Einfachintegral kann der Flächeninhalt von \( \Omega \) berechnet werden?

b) Durch welches Doppelintegral der Form \( \iint 1 d y d x \) kann der Flächeninhalt von \( \Omega \) berechnet werden?

c) Durch welches Doppelintegral der Form \( \iint 1 d x d y \) kann der Flächeninhalt von \( \Omega \) berechnet werden?

d) Durch welches Doppelintegral in Polarkoordianten kann der Flächeninhalt von \( \Omega \) berechnet werden?

Die Integrale brauchen nicht berechnet werden.

Answer 1

Hi Laura,

ein paar Vermutungen, die Deiner Kontrolle bedürfen.

a)

Der (komplette) Kreis hat die Form \(x^2+y^2 = 5^2\)

Also: \(y = \pm\sqrt{5^2-x^2}\)

$$\int_0^5 \sqrt{5^2-x^2} \;dx $$

(Dabei habe ich den Viertelskreis im ersten Quadranten geschnappt. Die Fläche ist natürlich die gleiche. Im Bedarfsfall halt ummodeln ;).)

b)

$$\int_{-5}^0 \int_{-\sqrt{5^2-x^2}}^0 1\; dy\; dx$$

c)

Mit der Umkehrfunktionarbeiten (also obige Kreisgleichung nach x auflösen)

$$\int_{-5}^0 \int_0^{-\sqrt{5^2-y^2}} 1\; dx \;dy$$

d)

Das sollte klar sein? ;)

Grüße

Comments

Ich danke vielmals, das hätte ich alleine nicht hinbekommen :-)  Bei d) habe ich zwar im Netz etwas dazu gefunden nur ich weiß nicht, wie ich das genau mit dem vorliegenden Integral in Verbindung setzen soll.

Der Übergang von einem Doppelintegral in kartesischen Koordinaten
\( \int \limits_{B} \int f(x, y) d x d y \)zu Polarkoordinaten erfolgt mit

\( x=r \cdot \cos \varphi \)
\( y=r \cdot \sin \varphi \)

\( \int \limits_{B} \int f(x, y) d x d y=\int \limits_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}} \int \limits_{r_{a}( \varphi )}^{\tau_{b}(\varphi)} \underbrace{ f(r \cdot \cos \varphi, r \cdot \sin \varphi) }_{ \text{Funktion mit den Variablen r und } \varphi} r d r d \varphi \)

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Du musst Dir klar machen, was denn r ist. Das ist der Radius. Das heißt r = 5 kannst Du direkt angeben. Dann gibt es da noch φ. Das ist einmal der Winkel für den Kreis. Also 2π. Wir wollen den dritten Quadranten, womit wir uns schon das Intervall [π;3/2*π] merken können. Dann noch wichtig die sogenannte Funktionaldeterminante, die Du in der letzten Zeile siehst. Direkt vor dem dr dφ. Die kommt durch die Transformation in die Polarkoordinaten zustande.

Wir haben also

$$\int \int 1 dx dy = \int_0^5 \int_{\pi}^{\frac32\pi} 1\cdot r \;d\varphi \;dr$$