Matrix/Vektor (Eigenvalue/Eigenvector)

Question

Show that if λ is an eigenvalue of the matrix A with corresponding eigenvector x, then λ−1 is an eigenvalue of A−1 with eigenvector x.

Answer 1

Ich schreibe mal k statt lambda und E statt 1 für die Einheitsmatrix.

Ax = kx

Ax = k * E *x

(A - kE) x = 0

und nun ergänzen

( A - E + E - kE) x = 0

(A - E)x + (E - kE) x = 0

(A-E)x = (k-1)E * x

(A - E) x = (k-1) * x

q.e.d. (k-1) ist Eigenwert von A-E mit zugehörigem Eigenvektor x.