Ist es möglich, die Stetigkeit von der Komposition der Funktionen mit Definition zu beweisen (ε und δ)?

Question

Ist es möglich, die Stetigkeit von der Komposition der Funktionen

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin (x), & \text { für } x \geq 0 \\ x, & \text { für } x<0\end{array}\right. \)

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit Definition zu beweisen (ε und δ)?

Wie fange ich an? Und was für eine Methode benutzt man, um zu untersuchen wie oft f differenzierter ist?

Answer 1

für x ungleich o sind das ja bekannte stetige Funktionen.
dann betrachtest du lim für x gegen o mit positiven x-Werten, das ist o
und lim für x gegen o mit negativen x-Werten, das ist  auch o.
Da die beide gleich sind ist f auch bei o stetig.

diffb?   machst du erst mal wieder einzeln
                              cos(x)    für x>0
f ' (x) =
                                   1       für x<0

und jetzt kannst du ähnlich wie bei der Stetigkeit auch die linsseitige und
rechtsseitige Ableitung bei x=0 bilden, die sind beide 1, also differenzierbar

               -sin(x)     für   x>o
f '' =
                     0         für x < 0
klappt auch    f ' ' ( x) = 0

                -cos(x)    für x>o
f ' ' '(x)
                     0         für x < 0    
hier ist es bei Null nicht übereinstimmend -1 von rechts und o von links
also nicht 3 mal differenzierbar

Comments

Und wie ist es mit dem Beweis mit Definition (Epsylon und Delta?) Kann ich den hier verwenden ? Und noch eine andere Frage . Irgendwie bin ich total verwirrt. Diese Schreibweise:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin (x), & \text { für } x \geq 0 \\ x, & \text { für } x<0\end{array}\right. \)

Bedeutet das Komposition von Funktionen  ( sowie  f  ° g)?

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Vermute mal, dass hier nur der falsche Ausdruck gewählt wurde,

normalweiser heißt das hier nicht komposition sonder

abschnittsweise definierte Funktion.

Komposition ist in der Tat sowas wie f°g