Aufgabe:
(a) Es seien \( a, n \in \mathbb{N} \). Zeige: \( V_{a, n}:=\left\{\sum \limits_{i=0}^{n-1} q_{i} \sqrt[n]{a^{i}}: q_{0}, \ldots, q_{n-1} \in \mathbb{Q}\right\} \) ist Untervektorraum des \( \mathbb{Q} \)-Vektorraumes \( \mathbb{R} \) mit \( \operatorname{dim}\left(V_{a, n}\right) \leq n \).
(b) Finde ein Beispiel für \( a, n \in \mathbb{N} \) mit \( \operatorname{dim}_{\mathbb{Q}}\left(V_{a, n}\right)=n \) und ein Beispiel für \( a, n \in \mathbb{N} \) mit \( \operatorname{dim}_{\mathbb{Q}}\left(V_{a, n}\right)<n \)
(c) Zeige: Es existiert ein Polynom \( q \in \mathbb{Q}[X] \) mit \( q \neq 0 \) so, dass \( q(\sqrt[3]{2}+5 \sqrt[3]{4}+7)=0 \).
Ansatz:
Habe mir bei der a) überlegt, dass ich doch eigentlich nur die Abgeschlossenheit unter Multipliaktion und Addition zeigen muss. Krieg das aber nicht wirklich hin.
