Vollständige Induktion - Fibonacci Zahlen

Question

Erinnern Sie sich an die Definition der Fibonacci-Zahlen \( F_{n}(n \in \mathbb{N}) \) durch

\( F_{0}:=1, \quad F_{1}:=1, \quad F_{n+2}=F_{n}+F_{n+1} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \)

Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \)

\( F_{n}=\frac{(1+\sqrt{5})^{n+1}-(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1} \sqrt{5}} \)

gilt und damit insbesondere

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

ist.

Hinweis. Sie müssen an dieser Stelle das Prinzip der vollständigen Induktion leicht variieren, da Sie im Induktionsschritt auf beide vorangegangenen Stufen zurückgreifen müssen.

Comments

Hinweis: Schreibe wo genau du bei deiner Induktion nicht weiter kommst. Die Ausrede kein Ansatz gilt hier nicht.

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Ja also ich weiß nicht, ob ich beim induktionsschritt für Fn+1 einfach n+1 für n einsetze oder die Formel da oben benutze sprich Fn+2=Fn+Fn+1 und das dann nach Fn+1 auflöse?....

Answer 1

Hi,
die Logik hinter dem IS ist die, dass du
$$ F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$$
verwendest und deine Formel auf \( F_n \) und \( F_{n-1} \) anwendest, zusammen rechnest und die Formel für \( F_{n+1} \) zeigst. Da du diesem aber zwei Bedingungen in deiner Induktionsvoraussetzung benutzt musst du am Induktionsanfang die Gültigkeit der Formel für \( F_0\) und \( F_1\) (also zwei aufeinander folgende Glieder) nachweisen.
Gruß