Zeigen Sie, dass die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen.

Question

Aufgabe 11:

Zeigen Sie, dass die drei Vektoren

\( v_{1}=(1,0,1), \quad v_{2}=(1,2,-1) \text { und } v_{3}=(-1,0,0) \)

nicht in einer Ebene liegen.

Aufgabe 12:

Es seien \( \vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}, \vec{a}_{4} \) linear abhängige Vektoren des \( \mathbf{R}^{n} \), aber je drei von ihnen seien linear unabhängig. Zeigen Sie:

1. Es gibt Skalare \( r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4} \), welche sämtlich \( \neq 0 \) sind, mit

\( r_{1} \vec{a}_{1}+r_{2} \vec{a}_{2}+r_{3} \vec{a}_{3}+r_{4} \vec{a}_{4}=\overrightarrow{0} \)

2. Gibt es außerdem Skalare \( s_{1}, s_{2}, s_{3,}, s_{4} \) mit

\( s_{1} \vec{a}_{1}+s_{2} \vec{a}_{2}+s_{3} \vec{a}_{3}+s_{4} \vec{a}_{4}=\overrightarrow{0} \)

so gibt es ein Skalar \( t \) mit \( s_{i}=t r_{i} \) für alle \( i=1,2,3,4 \).

Answer 1

11.   zeigst du einfach:  Sie sind lin.abh.
12. Je drei bilden also eine Basis des von a1 bis a4 aufgespannten Unterraumes.
du kannst also a4 als LK von a1 bis a3 darstellen.    a4=r1a1+r2a2+r3a3
wäre nun eines der r's gleich Null (etwa r1) , so
wäre  -a1r1= r2a2+r3a3- 1*a4
eine Darstellung des Nullvektors mit einem Faktor (bei a4), der nicht Null
ist. Dies widerspricht der lin. unabh. von a2,a3,a4.

b)
  Sei nun a   r1a1+r2a2+r3a3+r4a4=0 die Darstellung aus 1.
dann gilt       r1a1+r2a2+r3a3   = - r4a4    (#)
und diese Darstellung  ist eindeutig, da a1 bis a3 eine Basis bilden.

Nun muss man zwei Fälle unterscheiden:
1.Fall:
Sei s4=0 Dann liefern die restlichen drei eine Darstellung des Nullvektors,
da sie lin. unabh. sind, sind alle si gleich Null und damit alle
4 si gleich Null und dann wähle t=0
2. Fall:
Ist s4 ungleich Null, dann hat man
-s4a4 = s1a1+s2a2+s3a3
und diese Darstellung von -s4a4 ist eindeutig, da a1 bis a3 eine Basis bilden.
Da r4 ungleich Null und s4 ungleich 0 sind, gibt es ein t aus IR mit s4=t*r4
(nämlich t=s4/r4). dann liefert die Multiplikation von (#) mit t
   t*r1a1+t*r2a2+t*r3a3   = -t* r4a4 = -s4*a4
und wegen der Eindeutigkeit der beiden Darstellungen stimmen die entsprechenden
Koeffizienten überein.

Ergänzung:  Falls du den Satz über die Eindeutigkeit der Basisdarstellung nicht
kennst, kannst du ihn leicht begründen:
sind x1a1+x2a2+x3a3 und y1a1+y2a2+y3a3 Darstellungen des gleichen
Vektors durch lin. unabhängige a1 bis a3, dann ist
(x1-y1)a1+(x2-y2)a2+(x3-y3)a3 eine Darstellung des Nullvek, also alle
Klammern gleich Null also alle Koeffizienten paarweise gleich.