Zeigen Sie, dass die Folge (a_{n})_{n ≥ 1} , gegeben durch … konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Question

Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \), gegeben durch
\( a_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{6}+k}} \)
konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Mit welchem Kriterium macht man das, habe gedacht mit dem Quotienten?

Comments

vielleicht erst mal etwas abschätzen indem mit √(n^6 - k) erweitert wird,
gibt dann    für die summanden
(n^2 * √(n^6 - k)   )    /    ( n^6 - k^2 )

und √(n^6 - k) ist <= n^3
also    n^5  /   ( n^6 - k)       =   1 / (n  -   k^2/n^5)

????????????????

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Also,danke, verstehe den allerletzten Schritt nicht und was ist dann der Grenzwert?

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war nur eine Anregung. weiter kam ich auch nicht

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Warum erweiterst du nicht mit

√(n^6 + k) ?

Komme dann aber auch nicht wirklich weiter.

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war so eine Idee, dass dann wegen 3- binomi. Formel

der Term vielleicht was einfacher würde

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beachte  0 ≤ k ≤ n

Answer 1

Da \( \sqrt{n^6+k} \geq n^3 \) ergibt sich als oberes Sandwich 1+1/n.

Für's untere Sandwich:

\( \frac{n^2}{\sqrt{n^6+k} }  = \frac{n^2 \sqrt{n^6+k} } {n^6+k} \geq \frac{n^2 \cdot n^3}{n^6+n}\) , da \( 0 \leq k \leq n \)

und dann \( = \frac{1}{n} -\frac{1}{n(n^5+1)} \geq \frac{1}{n} -\frac{1}{n^6}\).

Damit ist der Grenzwert 1.

Comments

Damit ist der Grenzwert 1.

Begründung: Es sind n+1 Summanden.

und (n+1) (1/n - 1/n^6) → 1.

Ebenso ( n+1)* (1 + 1/n) → 1.

So ok?