Konvergente Folgen. Es sei für alle n ≥ N |a_(n+1) − a| ≤ q|a_(n) − a|. Zeige: (a_(n))_(n∈N) konvergiert.

Question

bräuche Hilfe bei folgender Aufgabenaufstellung:
Es seien (a_n)_n∈N ⊂ R eine Folge, a ∈ R, N ∈ N und q ∈ [0, 1), so dass für alle n ≥ N gilt: 
|a_n+1 − a| ≤ q|a_n − a|. 
Zeigen Sie: (a_n)_n∈N konvergiert.

Danke für Eure Hilfe!

Comments

Hinweis: Sandwich-Kriterium

Answer 1

Kannst ja auch leicht zeigen (Induktion)    |a_n − a| ≤ q^n-N * |a_N − a|.    für n > N  #

Und wenn ihr für |q| < 1 schon  qn als Nullfolge enttarnt habt,dann den Satz:  " Konstante (  |a₀ − a| )  mal Nullfolge gibt Nullfolge "

anwenden.    Und wenn   |a_n − a| eine Nullfolge beschreibt, geht a_n gegen a.

Andererseits geht es mit  # auch unmittelbar mit der GW-Definition.

Comments

Hallo mathef, 

dein # gilt bei dieser Aufgabe so nicht, da die Ungleichung aus der Aufgabenstellung erst ab einem gewissen N gilt.

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Danke, hatte ich nicht richtig gelesen, da nehmen wir N statt 0.

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Und n-N für den Exponenten von q.

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Ah ja !   Bau ich noch ein.