Konvergenz von Folge a_(n) zeigen. 0 <α <1 derart, dass | a_(n+1) - a_(n) | ≤ α |a_(n) -a_(n-1)| für alle n≥2

Question

Es sei (an ) ⊂ R eine Folge und  0 <α <1 derart,

dass     I  a_n+1 - a_n I    ≤      α Ia_n -a_n-1 I

für alle n≥2 .zeigen dass (a_n) konvergiert.

Comments

beweise  durch vollständige Induktion !

Answer 1

  I  a_n+1 - an I    ≤      α Ian -a_n-1 I

Schreib dir mal ein paar Beispiele auf, etwa

  I  a5 - a4 I    ≤      α Ia4 -a3 I   und   I  a₄ - a3 I    ≤      α Ia2 -a1 I  und   I  a3 - a2 I    ≤      α Ia2 -a₁I

und alles mit dem gleichen alpha !

dann ist      I  a5 - a4 I    ≤      α² * Ia3 -a2 I  <=    α³ * Ia2 -a1 I    etc

So kannst du mit Induktion sicher zeigen    I  a_n+1 - an I    ≤      α^n * Ia1 -a0 I

und da   0 < α < 1  geht αⁿgegen Null (geo. Folge) und  Ia1 -a0 Iist irgendeine

konstante, und die mal Nullfolge geht auch gegen 0.