Zeigen, dass Folge ((a^n+b^n)^\frac{1}{n})_{\geq 1} durch max(\{a,b\}) gegeben ist

Question

Hallöle

folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

$$\text{Seien } a,b \in \mathbb{R}_{\geq 1} \text{. Wir wollen zeigen dass der Grenzwert der Folge } ((a^n+b^n)^\frac{1}{n})_{\geq 1} \\\text{ durch max(\{a,b\}) gegeben ist. Dafür gehen wir wie folgt vor:}\\\text{1) Wir betrachten zunächst die Folge } (a^\frac{1}{n})_{n \geq1}\text{.} \\\text{ Weisen Sie mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung nach, dass die Ungleichungskette }\\\frac{a-1}{n} \geq a^\frac{1}{n}-1 \geq 0 \text{ für alle } n \geq 1 \text{ gilt.}\\\text{2) Nutzen Sie das Sandwichkriterium, um aus Aufgabenteil (1) zu folgern, dass}\\\text{der Grenzwert der Folge } (a^\frac{1}{n})_{n \geq 1} \text{ durch 1 gegeben ist.}\\\text{3) Begründen Sie, dass } (a^n+b^n)^\frac{1}{n} \geq max(\{a,b\}) \text{ für jedes } n \geq 1 \text{ ist.}\\\text{4) Zeigen Sie, dass } (a^n+b^n)^\frac{1}{n} \leq 2^\frac{1}{n} \cdot max(\{a,b\}) \text{ für alle } n \geq 1 \text{ ist.}\\\text{5) Nutzen Sie nun die vorherigen Aufgabenteile, um das Ziel dieser Aufgabe zu erreichen.}$$

Sitze jetzt schon Ewigkeiten an dieser Aufgabe und hänge tatsächlich noch immer an der 1), da ich nicht verstehe, wie ich die Bernoulische Ungleichung verwenden soll.

Vielen Dank im Voraus :)

Answer 1

Teil 1) ist etwas Trickserei:

\(a = \left( a^{\frac1n}\right)^n = \left(1+ \left( a^{\frac1n}-1\right)\right)^n\stackrel{Bernoulli}{\geq} 1+n\left( a^{\frac1n}-1\right)\)

Jetzt nur noch umstellen.

Den Rest kann man einfacher machen, als vorgeschlagen.

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir \(a\geq b\) annehmen (andernfalls benennen wir die Zahlen einfach um). Damit ist also

\(\max(a,b) = a\) und insbesondere \(1\geq\frac ba > 0\).

Auf diese Weise erhalten wir sofort:

\(a\leq (a^n+b^n)^{\frac 1n}= a\left(1+\left(\frac ba\right)^n\right)^{\frac 1n}\leq a(1+1)^{\frac 1n} = a\cdot 2^{\frac 1n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}a\)

Da \(\max(a,b) = a\), ist damit alles gezeigt.

Comments

oder direkt nach der ersten Ungleichung mit \( (a^n+b^n)^\frac1n \leq (2a^n)^\frac1n = a\cdot 2^\frac1n \)

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Stimmt. Das geht noch fixer.

Manchmal sieht man das Offensichtliche nicht. :-D