Teil 1) ist etwas Trickserei:
\(a = \left( a^{\frac1n}\right)^n = \left(1+ \left( a^{\frac1n}-1\right)\right)^n\stackrel{Bernoulli}{\geq} 1+n\left( a^{\frac1n}-1\right)\)
Jetzt nur noch umstellen.
Den Rest kann man einfacher machen, als vorgeschlagen.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir \(a\geq b\) annehmen (andernfalls benennen wir die Zahlen einfach um). Damit ist also
\(\max(a,b) = a\) und insbesondere \(1\geq\frac ba > 0\).
Auf diese Weise erhalten wir sofort:
\(a\leq (a^n+b^n)^{\frac 1n}= a\left(1+\left(\frac ba\right)^n\right)^{\frac 1n}\leq a(1+1)^{\frac 1n} = a\cdot 2^{\frac 1n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}a\)
Da \(\max(a,b) = a\), ist damit alles gezeigt.