Geraden bestimmen, welche die Gerade g entweder schneidet oder parallel oder windschief ist

Question

Kann mir jemand erklären, wie man Geradegleichungen aufstellt, sodass die Gerade g geschnitten wird bzw. windschief oder parallel zu g ist.

g: \( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \)+t·\( \begin{pmatrix} 7\\3\\1 \end{pmatrix} \)

Parallel: Meine Überlegung wäre, dass man einfach den Richtungsvektor übernimmt oder einen dazu linear abhängigen. Ich weiß einfach nicht, wie man auf den Stützvektor kommt.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo Cheese,

g: x = (1;0;0) + t*(7;3;1)

mit der Parallelität hast Du Recht:

Wenn die gesuchte Gerade f den gleichen Richtungsvektor hat wie g, dann ist sie zu g parallel. Du kannst dann als Stützvektor irgendeinen beliebigen Punkt nehmen, die Parallelität bleibt natürlich bestehen:

Zum Beispiel f: x = (1|0|1) + s * (7|3|1)

Sollte der von Dir gewählte Punkt aber auch auf g liegen, dann sind f und g nicht nur parallel, sondern sogar identisch.

Zum Beispiel f : x = (8|3|1) + s * (7|3|1)

Wenn f nicht parallel zu g oder gar identisch mit ihr ist, bleiben nur noch 2 Möglichkeiten:

Entweder die beiden Geraden schneiden sich oder sie sind windschief.

Du setzt die beiden Geradengleichungen gleich. Nehmen wir zum Beispiel für f: x = (0|0|0) + s * (1|2|3).

Dann hättest Du 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten:

1 + 7t = 0 + s

0 + 3t = 0 + 2s

0 + 1t = 0 + 3s

Solltest Du eine eindeutige, widerspruchsfreie Lösung erhalten, dann schneiden sich die beiden Geraden in einem gemeinsamen Punkt.

Sollte sich ein Widerspruch ergeben, gibt es keinen Schnittpunkt, und da Parallelität oder Identität schon zuvor abgeprüft wurden, bleibt dann nur noch Windschiefe.

Besten Gruß

Comments

Nachtrag!!

Es ging ja um die Konstruktion einer Geraden f, und nicht um die Überprüfung der Lagebeziehung zu g; also:

f identisch mit g:

rechne einen beliebigen Punkt aus, der auf g liegt, nimm diesen als Stützvektor von f, und den Richtungsvektor übernimmst Du einfach

f "nur" parallel zu g:

rechne einen beliebigen Punkt aus, der auf g liegt, verändere eine der drei Koordinaten (dann liegt dieser neue Punkt nämlich nicht auf g) und übernimm wieder den Richtungsvektor von g für f

f schneidet g:

Berechne einen beliebigen Punkt von g; nimm diesen als Stützvektor von f und als Richtungsvektor irgendeinen, der nicht kollinear zum Richtungsvektor von g ist (also nicht identisch, kein Teil oder Vielfaches).

f ist windschief zu g:

Berechne wie oben einen Punkt, der nicht auf g liegt; bezüglich des Richtungsvektors mach Dir bitte einmal selbst Gedanken :-)

So, das müsste es aber jetzt sein :-D

Besten Gruß

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Ich habs verstanden :)

Vielen Danke für die ausführliche Erklärung :D

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Freut mich, wenn ich helfen konnte!

Gern geschehen - und danke für den Stern :-)

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Irgendwie verstehe ich es nicht.

Muss man dann nicht immer erstmal alles ausrechnen oder geht das auch leichter?