Question

Für welche x sind folgende Funktionen stetig? (Beweisen Sie Ihre Antworten.)

(a) f : \( \mathbb{ℝ} \to \mathbb{ℝ} \)

$$  f(x)=\begin{cases}   0,  & \text{wenn } x\in \mathbb{R}/\mathbb{Q} \\   x, & \text{wenn } x\in\mathbb{Q} \end{cases} $$


(b) f : \( (0, \infty) \to \mathbb{R} \)

$$  f(x)=\begin{cases}   0,  & \text{wenn } x\in \mathbb{R}/\mathbb{Q} \text{ und } x>0\\   \frac{1}{q}, & \text{wenn } x=\frac{p}{q} \text{ mit } p,q\in\mathbb{Z} \text { und } ggT(p,q)=1 \text { sowie } x>0 \end{cases} $$

(c) f : \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\),

$$ f(x)= \frac { \sqrt { 3 } sin^{ 4 }(2x)+8cos^{ 4 }(5x+1) }{ 1+x^{ 2 }+e^{ sin(x) } |cos(x) | } $$

 

An alle Mathe Asse  unter euch Hilft mir bitte !!!

Danke :)

Comments

Ist es so gemeint?

Für welche x sind folgende Funktionen stetig? (Beweisen Sie Ihre Antworten.)

(a) f : \( \mathbb{ℝ} \to \mathbb{ℝ} \)

$$  f(x)=\begin{cases}   0,  & \text{wenn } x\in \mathbb{R}/\mathbb{Q} \\   x, & \text{wenn } x\in\mathbb{Q} \end{cases} $$


(b) f : \( (0, \infty) \to \mathbb{R} \)

$$  f(x)=\begin{cases}   0,  & \text{wenn } x\in \mathbb{R}/\mathbb{Q} \text{ und } x>0\\   \frac{1}{q}, & \text{wenn } x=\frac{p}{q} \text{ mit } p,q\in\mathbb{Z} \text { und } ggT(p,q)=1 \text { sowie } x>0 \end{cases} $$

(c) f : \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\),

$$ f(x)= \frac { \sqrt { 3 } sin^{ 4 }(2x)+8cos^{ 4 }(5x+1) }{ 1+x^{ 2 }+e^{ sin(x) } |cos(x) | } $$

An alle Mathe Asse  unter euch Hilft mir bitte !!!

Danke :)

---

wow du bist der Hammer!!!

stimmt alles bis auf: b) R-Q statt R/Q

und c) ist R->R

---

ich denke mit  \(  \mathbb{R}-\mathbb{Q} \) ist \(  \mathbb{R}/\mathbb{Q} \) gemeint. Das andere habe ich noch geändert.

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Korrektur von ullim oben in die Frage eingesetzt.

Answer 1

a) für jedes x aus Q gibt es Folgen irrationaler Zahlen, die gegen x konvergieren ( etwa x+e^{-n} )

wenn f bei x stetig ist, muss die Folge der Funktionswerte, das sind alles Nullen, gegen f(x),

also gegen x konvergieren,

für x ungleich Null ist das nicht der Fall, also ist f bei allen x aus Q mit x ungleich Null

nicht stetig.

für jedes x aus IR ohne Q gibt es Folgen rationaler Zahlen, die gegen x konvergieren,

die Folge der Funktionswerte besteht ja nun gerade aus diesen x-en und konvergiert demnach nicht

gegen f(x)=0, denn x ist ungleich Null, da x aus R ohne Q.

b) bei b kann man ähnlich argumentieren

c) Bei c) hat man einem Term, der mittels Add, Sub, Multiplik aus stetigen Funktionen

( Betrags funktion ist auch stetig ! ) aufgebaut ist, also überall auf dem Definitionsbereich stetig ist.

Und der Def.ber ist wirklich ganz R, da allenfalls die Nullstellen, des Nenners

auszuschließen wären, aber die Summe im Nenner ist immer größer oder gleich 1.

Comments

Wenn ich das richtig verstehe, meinst du, dass die Funktion in b) nirgends stetig ist, oder?
Das stimmt nicht: Die Funktion ist in allen irrationalen Stellen stetig.

Und dass a) in x=0 stetig ist, wurde auch noch nicht gesagt; oder habe ich das überlesen? ;-)