Ist die folgende Funktion stetig und gleichmässig stetig? f(x):= (x^2 - 2)/(x+1) , für x≥0.

Question

f: [0, ∞) → ℝ, $$ f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-2 }{ x+1 }  $$

Also ich würde gerne an diesem Beispiel die  ε-δ-Formulierung der Stetigkeit erklärt haben. Und vielleicht kann mir jemand auch sagen ob diese Fkt. gleichmäßig stetig ist oder nicht?

Comments

Mach mal ein bisschen Vorarbeit: Rechne \(f(x)-f(\xi)\) aus, d.h. alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen, soweit wie moeglich vereinfachen, und \((x-\xi)\) als Faktor abspalten. Poste dann das Ergebnis. Bei weiteren Fragen kann man Dir dann sicher weiterhelfen.

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Also als Definitionsbereich habe ich D=ℝ\{-1}, ich glaube das ist ja auch wichtig, da, wenn f(x) stetig ist, dann überall außer -1, oder?

Und nun habe ich folgenden Term raus (aber ich bin mir ziemlich sicher, dass das falsch ist. . . ):

$$ f(x)=\left| \frac { { (x }^{ 2 }*{ x }_{ 0 }*{ x }^{ 2 }-2)+({ { x }_{ 0 } }^{ 2 }*x-2) }{ { (x }^{ 2 }*{ x }_{ 0 }*{ x }^{ 2 }-2)+({ { x }_{ 0 } }^{ 2 }*x-2) }  \right| $$

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Ein Satz von Euler:

"Der grösste Teil der Schwierigkeiten, mit denen gewöhnlich die Jünger der mathematischen Wissenschaft bei der Erlernung der Analysis des Unendlichen zu kämpfen haben, hat nach meiner Erfahrung darin seinen Grund, dass man sich bereits an jene höhere Kunst heranwagt, bevor man noch recht die niedere Algebra sich angeeignet bat."

Deine Rechnung ist natuerlich falsch. Probiere noch mal. Ist schliesslich nur niedere Algebra zu noetig.

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Okay, fangen wir mal langsam an...

$$ f(x)=\left| \frac { { x }^{ 2 }-2 }{ x+1 } -\frac { { { x }_{ 0 } }^{ 2 }-2 }{ { x }_{ 0 }+1 }  \right|  $$

ist das so okay?
Und wie mache ich das gleichnamig? also ich hätte alles miteinander ausmultipliziert, aber naja. . . sieht man ja was dabei herauskommt

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Die Betraege kannst Du spaeter dran machen. Und wenn Du \(f(x)-f(x_0)\) ausrechnen willst, dann kann das nicht mit \(f(x)=\ldots\) anfangen. Den algebraischen Teil ueberlasse ich weiterhin Dir. Als gemeinsamer Nenner kommt ja wohl \((x+1)(x_0+1)\) infrage.

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okay, das mit f(x) war jetzt nur ein Flüchtigkeitsfehler, Verzeihnung.

Ist dann $$ \frac { { x }^{ 2 }-{ x }_{ 0 } }{ { x }_{ 0 }-x } $$ richtig?

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Probier mal das da:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2-2)%2F(x%2B1)-(\xi^2-2)%2F(\xi%2B1)

Unter "alternate forms" ist was passendes bei.

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Ich muss sagen, dass ich mit 'ξ' nichts anfangen, tut mit leid x'D

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Mal ganz offen: Solange Du nicht mal mit elementarer Bruchrechnung vertraut bist und Dir nicht klar ist, dass es nichts zur Sache tut, welchen Buchstaben man zur Bezeichnung der Stelle verwendet, kannst Du Dich auch nicht mit Analysis beschaeftigen.

Answer 1

Ich versuche mal zu helfen

f(x)      -    f(xo)

= (x^2 - 2 ) / (x+1)    -   ( xo^2 - 2 ) / ( xo+1)

und jetzt beides passend erweitern gibt

= (x^2 - 2 )* ( xo+1) / ((x+1)* ( xo+1))    -   ( xo^2 - 2 )* (x+1)    / (( xo+1)* (x+1)   )

= ( (x0x^2 - 2xo + x^2 -2 )   -  (x*xo^2 - 2x + xo^2 - 2 )   )   /    (( xo+1)* (x+1)   )

= (x0x^2 - 2xo + x^2 -2   -  x*xo^2 + 2x - xo^2 + 2 )      /    (( xo+1)* (x+1)   )

= (x0x^2 - 2xo + x^2    -  x*xo^2 + 2x - xo^2 )     /    (( xo+1)* (x+1)   )

= (x0x^2  -  x*xo^2 + 2x  - 2xo + x^2   - xo^2 )     /    (( xo+1)* (x+1)   )

= (x0x*(x-xo) + 2(x  - xo) + (x+x0)(x   - xo )     /    (( xo+1)* (x+1)   )

= (x-x0) (x0x + 2+ (x+x0))    /    (( xo+1)* (x+1)   )

=  ( x -xo)  *  (  (x0x + 2+ (x+x0)   /    (( xo+1)* (x+1)   ) ) 
jetzt hast du jedenfalls das x-xo als Faktor davor und das hat ja was
mit dem delta zu tun.